Univerzální parabolická konstanta - Universal parabolic constant

The univerzální parabolická konstanta je matematická konstanta.
Je definován jako poměr pro všechny parabola, z délka oblouku parabolického segmentu tvořeného latus rectum k ohniskovému parametru. Ohniskový parametr je dvakrát větší než ohnisková vzdálenost. Poměr je označenP.[1][2][3]V diagramu je latus rectum zobrazen modře, parabolický segment, který tvoří červeně, a ohniskový parametr zeleně. (The soustředit se paraboly je bod F a directrix je čára L.)
Hodnota P je[4]
(sekvence A103710 v OEIS ). The kruh a parabola jsou mezi kuželosečkami jedinečné v tom, že mají univerzální konstantu. Analogické poměry pro elipsy a hyperboly závisí na jejich výstřednosti. To znamená, že všechny kruhy jsou podobný a všechny paraboly jsou podobné, zatímco elipsy a hyperboly nejsou.
Derivace
Vzít jako rovnice paraboly. Ohniskový parametr je a semilatus rectum je .
Vlastnosti
P je transcendentní číslo.
- Důkaz. Předpokládejme to P je algebraický. Pak musí být také algebraické. Avšak tím, že Lindemann – Weierstrassova věta, by bylo transcendentální, což není tento případ. Proto P je transcendentální.
Od té doby P je transcendentální, to také je iracionální.
Aplikace
Průměrná vzdálenost od bodu náhodně vybraného v jednotkovém čtverci do jeho středu je[5]
- Důkaz.
Odkazy a poznámky pod čarou
- ^ Sylvester Reese a Jonathan Sondow. "Univerzální parabolická konstanta". MathWorld., webový zdroj Wolfram.
- ^ Reese, Sylvester. „Video přednáška Pohle Colloquium: Univerzální parabolická konstanta“. Citováno 2. února 2005.
- ^ Sondow, Jonathan (2012). "Parbelos, parabolický analog arbelos". arXiv:1210.2279 [matematika ]. Americký matematický měsíčník, 120 (2013), 929-935.
- ^ Vidět Parabola # Délka oblouku. Použití , délka semilatus rectum, so a . Vypočítat ve smyslu , poté vydělte , což je ústřední parametr.
- ^ Weisstein, Eric W. „Výběr čtvercového bodu“. MathWorld., webový zdroj Wolfram.