Sylvester matroid - Sylvester matroid

v teorie matroidů, a Sylvester matroid je matroid, ve kterém každá dvojice prvků patří do tříprvkového obvodu (a trojúhelník) matroidu.^[1]^[2]

Příklad

The ${ displaystyle n}$ -bodová čára (tj. hodnost 2 jednotný matroid na ${ displaystyle n}$ elementy, ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {2}}$ ) je matroid Sylvester, protože každá dvojice prvků je základem a každá trojice je obvodem.

Sylvestrovský matroid třetí úrovně může být vytvořen z kteréhokoli Trojitý systém Steiner, definováním linií matroidu jako trojic systému. Sylvesterské matroidy třetí úrovně mohou být také vytvořeny z Konfigurace Sylvester – Gallai, konfigurace bodů a čar (v neeuklidovských prostorech) bez dvoubodové čáry. Například Fano letadlo a Hesseova konfigurace dají vzniknout Sylvestrovým matroidům se sedmi respektive devíti prvky a lze je interpretovat buď jako Steinerovy trojité systémy, nebo jako konfigurace Sylvester – Gallai.

Vlastnosti

Sylvestrovský matroid s hodnost ${ displaystyle r}$ musí mít alespoň ${ displaystyle 2 ^ {r} -1}$ elementy; tato vazba je těsná pouze pro projektivní prostory přes GF (2), jehož příkladem je letadlo Fano.^[3]

V matroidu Sylvester lze každou nezávislou sadu rozšířit o jeden další prvek a vytvořit tak obvod matroidu.^[1]^[4]

Sylvesterské matroidy nemohou být zastoupeny přes reálná čísla (to je Věta Sylvester – Gallai ), ani nemohou být orientované.^[5]

Dějiny

Sylvesterské matroidy byly studovány a pojmenovány Murty (1969) po James Joseph Sylvester, protože porušují Věta Sylvester – Gallai (pro body a čáry v Euklidovské letadlo, nebo ve vyšší dimenzi Euklidovské prostory ) to pro každého konečná množina bodů je čára obsahující pouze dva z bodů.

Reference

^ ^A ^b Murty, USA (1969), „Sylvester matroids“, Nedávný pokrok v kombinatorice (Proc. Third Waterloo Conf. On Combinatorics, 1968), New York: Academic Press, s. 283–286, PAN 0255432.
^ Welsh, D. J. A. (2010), Teorie matroidů, Publikace Courier Dover, s. 297, ISBN 9780486474397.
^ Murty, USA (1970), „Matroidy s majetkem Sylvester“, Aequationes Mathematicae, 4: 44–50, doi:10.1007 / BF01817744, PAN 0265186.
^ Bryant, V. W .; Dawson, J. E.; Perfektní, Hazel (1978), „Dědičné okruhy“, Compositio Mathematica, 37 (3): 339–351, PAN 0511749.
^ Ziegler, Günter M. (1991), „Některé minimální neorientovatelné matroidy třetí úrovně“, Geometriae Dedicata, 38 (3): 365–371, doi:10.1007 / BF00181199, PAN 1112674.

[m69-1] A ^b Murty, USA (1969), „Sylvester matroids“, Nedávný pokrok v kombinatorice (Proc. Third Waterloo Conf. On Combinatorics, 1968), New York: Academic Press, s. 283–286, PAN 0255432.

[2] Welsh, D. J. A. (2010), Teorie matroidů, Publikace Courier Dover, s. 297, ISBN 9780486474397.

[3] Murty, USA (1970), „Matroidy s majetkem Sylvester“, Aequationes Mathematicae, 4: 44–50, doi:10.1007 / BF01817744, PAN 0265186.

[4] Bryant, V. W .; Dawson, J. E.; Perfektní, Hazel (1978), „Dědičné okruhy“, Compositio Mathematica, 37 (3): 339–351, PAN 0511749.

[5] Ziegler, Günter M. (1991), „Některé minimální neorientovatelné matroidy třetí úrovně“, Geometriae Dedicata, 38 (3): 365–371, doi:10.1007 / BF00181199, PAN 1112674.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]