Trojčlenný trojúhelník - Trinomial triangle

The trinomiální trojúhelník je variace Pascalův trojúhelník. Rozdíl mezi nimi spočívá v tom, že položka v trojčlenném trojúhelníku je součtem tři (spíše než dva v Pascalově trojúhelníku) nad ním:

The ${ displaystyle k}$-tý vstup do ${ displaystyle n}$-tý řádek je označen

${ displaystyle {n vyberte k} _ {2}}$.

Řádky se počítají od 0. Položky ${ displaystyle n}$-th řádek jsou indexovány počínaje ${ displaystyle -n}$ zleva a střední položka má index 0. Symetrie položek řádku kolem střední položky je vyjádřena vztahem

${ displaystyle {n select k} _ {2} = {n select -k} _ {2}}$

Vlastnosti

The ${ displaystyle n}$-tý řádek odpovídá koeficientům v polynomiální expanze expanze trinomiální ${ displaystyle (1 + x + x ^ {2})}$ zvedl k ${ displaystyle n}$-tá síla:^[1]

${ displaystyle left (1 + x + x ^ {2} right) ^ {n} = součet _ {j = 0} ^ {2n} {n zvolit jn} _ {2} x ^ {j} = sum _ {k = -n} ^ {n} {n vyberte k} _ {2} x ^ {n + k}}$

nebo symetricky

${ displaystyle left (1 + x + 1 / x right) ^ {n} = součet _ {k = -n} ^ {n} {n zvolit k} _ {2} x ^ {k}}$,

odtud alternativní název trinomiální koeficienty kvůli jejich vztahu k multinomiální koeficienty:

${ displaystyle {n zvolit k} _ {2} = součet _ { textový styl {0 leq mu, nu leq n na vrcholu mu +2 nu = n + k}} { frac { n!} { mu! , nu! , (n- mu - nu)!}}}$

Kromě toho mají úhlopříčky zajímavé vlastnosti, například jejich vztah k trojúhelníková čísla.

Součet prvků ${ displaystyle n}$-tý řádek je ${ displaystyle 3 ^ {n}}$.

Vzorec opakování

Trinomiální koeficienty lze generovat pomocí následujícího vzorec opakování:^[1]

${ displaystyle {0 zvolit 0} _ {2} = 1}$,

${ displaystyle {n + 1 zvolit k} _ {2} = {n zvolit k-1} _ {2} + {n zvolit k} _ {2} + {n zvolit k + 1} _ { 2}}$ pro ${ displaystyle n geq 0}$,

kde ${ displaystyle {n select k} _ {2} = 0}$ pro ${ displaystyle k <-n}$ a ${ displaystyle k> n}$.

Centrální trinomiální koeficienty

Prostřední položky trinomiálního trojúhelníku

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139,… (sekvence A002426 v OEIS )

byly studovány uživatelem Euler a jsou známé jako centrální trinomiální koeficienty.

The ${ displaystyle n}$-tý centrální trinomiální koeficient je dán vztahem

${ displaystyle {n vybrat 0} _ {2} = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {n (n-1) cdots (n-2k + 1)} {(k! ) ^ {2}}} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n vyberte 2k} {2k vyberte k}.}$

Jejich generující funkce je^[2]

${ displaystyle 1 + x + 3x ^ {2} + 7x ^ {3} + 19x ^ {4} + ldots = { frac {1} { sqrt {(1 + x) (1-3x)}} }.}$

Euler zaznamenal následující exemplum memorabile inductionis fallacis („Pozoruhodný příklad klamné indukce“):

${ displaystyle 3 {n + 1 zvolit 0} _ {2} - {n + 2 zvolit 0} _ {2} = F_ {n} (F_ {n} +1)}$ pro ${ displaystyle 0 leq n leq 7}$,

kde ${ displaystyle F_ {n}}$ je n-th Fibonacciho číslo. Pro větší ${ displaystyle n}$, tento vztah je však nesprávný. George Andrews vysvětlil tento klam pomocí obecné identity^[3]

${ displaystyle 2 sum _ {k in mathbb {Z}} vlevo [{n + 1 vyberte 10k} _ {2} - {n + 1 vyberte 10k + 1} _ {2} vpravo] = F_ {n} (F_ {n} +1).}$

Aplikace

V šachu

Počet způsobů, jak dosáhnout buňky s minimálním počtem tahů

Trojúhelník odpovídá počtu možných cest, kterými může být král ve hře šachy. Položka v buňce představuje počet různých cest (s použitím minimálního počtu tahů), které může král dosáhnout, aby se dostal do buňky.

V kombinatorice

Koeficient ${ displaystyle x ^ {k}}$ v polynomiální expanzi ${ displaystyle left (1 + x + x ^ {2} right) ^ {n}}$ určuje počet různých způsobů náhodného kreslení ${ displaystyle k}$ karty ze dvou sad ${ displaystyle n}$ stejné hrací karty.^[4] Například v takové karetní hře se dvěma sadami ze tří karet A, B, C vypadají volby takto:

Z toho zejména vyplývá ${ displaystyle {24 vybrat 12-24} _ {2} = {24 zvolit -12} _ {2} = {24 vybrat 12} _ {2}}$ jako počet různých kombinací ve hře Doppelkopf.

Alternativně je také možné dosáhnout tohoto čísla zvážením počtu způsobů výběru ${ displaystyle p}$ páry identických karet ze dvou sad, což je ${ displaystyle {n vybrat p}}$. Zbývající ${ displaystyle k-2p}$ karty lze poté vybrat v ${ displaystyle {n-p vyberte k-2p}}$ způsoby,^[4] které lze psát z hlediska binomické koeficienty tak jako

${ displaystyle {n select kn} _ {2} = součet _ {p = max (0, kn)} ^ { min (n, [k / 2])} {n vybrat p} {np zvolte k-2p}}$.

Například,

${ displaystyle 6 = {3 zvolit 2-3} _ {2} = {3 zvolit 0} {3 zvolit 2} + {3 zvolit 1} {2 zvolit 0} = 1 cdot 3 + 3 cdot 1}$.

Výše uvedený příklad odpovídá třem způsobům výběru dvou karet bez párů identických karet (AB, AC, BC) a třem způsobům výběru páru identických karet (AA, BB, CC).

Reference

Další čtení

• Leonhard Euler (1767). „Observationes analyticae („ Analytical Observations “)“. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 11: 124–143.