Věta o trilliu - Trillium theorem

v Euklidovská geometrie, trilliová věta - (z ruštiny: лемма о трезубце,[1][2] doslovně 'lemma o trojzubci', rusky: теорема трилистника,[3] doslovně „teorém trillia“ nebo „teorém trojlístku“) je tvrzení o vlastnostech napsaný a ohraničené kruhy a jejich vztahy.

Teorém

Věta o trilliu

Nechat ABC být libovolný trojúhelník. Nechat Já být jeho stimulant a nechte D být bodem, kde čára BI (dále jen úhlová osa z ∠ABC) prochází přes obvod z ABC. Věta pak říká, že D je stejně vzdálený z A, C, a JáEkvivalentně:

  • Kruh prošel A, C, a Já má své centrum v D. To zejména znamená, že střed tohoto kruhu leží na circumcircle.[4][5]
  • Tři trojúhelníky POMOC, CID, a ACD jsou rovnoramenný, s D jako jejich vrchol.

Čtvrtý bod, excentr z ABC ve vztahu k B, také leží ve stejné vzdálenosti od D, diametrálně opačně od Já.[2][6]

Důkaz

Podle věta o vepsaném úhlu,

Od té doby je úhlová osa,

Také jsme dostali

Aplikace na rekonstrukci trojúhelníku

Tato věta může být použita k rekonstrukci trojúhelníku vycházejícího z umístění pouze jednoho vrcholu, stimulant a circumcenter trojúhelníku B být daným vrcholem, Já být stimulem a Ó být circumcenter. Tyto informace umožňují postupnou konstrukci:

  • circumcircle daného trojúhelníku, jako kruh se středem Ó a poloměr OB,
  • směřovat D jako průsečík circumcircle s linií BI,
  • kruh věty o, se středem D a poloměr DI, a
  • vrcholy A a C jako průsečíky dvou kruhů.[7]

U některých trojných bodů B, Já, a Ó, tato konstrukce může selhat, buď proto, že linka IB je tečna k kruhovému kruhu nebo proto, že tyto dva kruhy nemají dva přechody. Může také vytvořit trojúhelník, pro který je daný bod Já je spíše excentr než motivátor. V těchto případech nemůže existovat žádný trojúhelník B jako vrchol, Já jako pobídka a Ó jako circumcenter.[8]

Další problémy s rekonstrukcí trojúhelníku, jako je rekonstrukce trojúhelníku z vrcholu, incenteru a jeho středu devítibodový kruh, lze vyřešit redukcí problému na případ vrcholu, incenteru a circumcenteru.[8]

Zobecnění

Nechat Já a J být libovolné dva ze čtyř bodů daných motivátorem a třemi excentry trojúhelníku ABC. Pak Já a J jsou kolineární s jedním ze tří vrcholů trojúhelníků. Kruh s IJ protože průměr prochází dalšími dvěma vrcholy a je vycentrován na obvod kruhu ABC. Když jeden z Já nebo J je incenter, toto je věta o trilliu, s přímkou IJ jako (vnitřní) úhlová přímka jednoho z úhlů trojúhelníku. Je však také pravda, kdy Já a J jsou oba excentry; v tomto případě řádek IJ je vnější úhlová přímka jednoho z úhlů trojúhelníku.[9]

Viz také

Reference

  1. ^ Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка (PDF). Úloha 1.2. p. 4.CS1 maint: umístění (odkaz)
  2. ^ A b „6. Лемма о трезубце“ (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29.
  3. ^ И. А. Кушнир. „Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера“ (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), strana 34; důkaz na straně 36. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: umístění (odkaz)
  4. ^ Morris, Richard (1928), „Kruhy přes významné body trojúhelníku“, Učitel matematiky, 21 (2): 63–71, JSTOR  27951001. Viz zejména diskuse na str. 65 kruhů BIC, CIA, AIBa jejich centra.
  5. ^ Bogomolny, Alexander, „Vlastnost kruhu přes centrum“, Cut-the-Knot, vyvoláno 2016-01-26.
  6. ^ Bogomolny, Alexander, „Středy linií spojujících In- a Excenters“, Cut-the-Knot, vyvoláno 2016-01-26.
  7. ^ Aref, M. N .; Wernick, William (1968), Problémy a řešení v euklidovské geometrii, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3 (i), str. 68, ISBN  9780486477206.
  8. ^ A b Yiu, Paul (2012), „Kónická konstrukce trojúhelníku z jeho motivu, středu devíti bodů a vrcholu“ (PDF), Časopis pro geometrii a grafiku, 16 (2): 171–183, PAN  3088369
  9. ^ Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jingzhong (1994), Strojové důkazy v geometrii: Automatizovaná výroba čitelných důkazů pro věty o geometrii Seriál o aplikované matematice, 6, World Scientific, příklady 6.145 a 6.146, str. 328–329, ISBN  9789810215842.

externí odkazy