Problém trigonometrických momentů - Trigonometric moment problem

v matematika, trigonometrický momentový problém je formulován takto: vzhledem k konečné posloupnosti {α₀, ... α_n }, existuje pozitivní Borelův rozměr μ v intervalu [0, 2π] takové, že

${displaystyle alpha _ {k} = {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} e ^ {- ikt}, dmu (t).}$

Jinými slovy, kladná odpověď na problémy znamená, že {α₀, ... α_n } jsou první n + 1 Fourierovy koeficienty nějaké pozitivní Borelovy míry μ v [0, 2π].

Charakterizace

Problém trigonometrických momentů je řešitelný, tj. {α_k} je posloupnost Fourierových koeficientů, právě když (n + 1) × (n + 1) Toeplitzova matice

${displaystyle A = left ({egin {matrix} alpha _ {0} & alpha _ {1} & cdots & alpha _ {n} {ar {alpha _ {1}}} & alpha _ {0} & cdots & alpha _ {n-1 } vdots & vdots & ddots & vdots {ar {alpha _ {n}}} & {ar {alpha _ {n-1}}} & cdots & alpha _ {0} end {matrix}} ight)}$

je pozitivní semidefinit.

Část nároků „pouze pokud“ lze ověřit přímým výpočtem.

Načrtneme argument pro konverzaci. Pozitivní semidefinitní matice A definuje a sesquilinear produkt na C^{n + 1}, což má za následek Hilbertův prostor

${displaystyle ({mathcal {H}}, langle;,; úhel)}$

maximálně dimenzionální n +1, jehož typickým prvkem je třída ekvivalence označená [F]. Toeplitzova struktura A znamená, že „zkrácený“ posun je a parciální izometrie na ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Přesněji řečeno,E₀, ...E_n } být standardním základem C^{n + 1}. Nechat ${displaystyle {mathcal {E}}}$ být podprostor generovaný {[E₀], ... [E_{n - 1}] } a ${displaystyle {mathcal {F}}}$ být podprostor generovaný {[E₁], ... [E_n]}. Definujte operátora

${displaystyle V: {mathcal {E}} ightarrow {mathcal {F}}}$

podle

${displaystyle V [e_ {k}] = [e_ {k + 1}] quad {mbox {for}} quad k = 0ldots n-1.}$

Od té doby

${displaystyle langle V [e_ {j}], V [e_ {k}] úhel = langle [e_ {j + 1}], [e_ {k + 1}] úhel = A_ {j + 1, k + 1} = A_ {j, k} = jazyk [e_ {j}], [e_ {k}] úhel,}$

PROTI lze rozšířit na částečnou izometrii působící na všechny ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Vezměte si minimum unitární rozšíření U z PROTI, na případně větším prostoru (toto vždy existuje). Podle spektrální věta, existuje míra Borel m na jednotkovém kruhu T taková, že pro všechna celá čísla k

${displaystyle langle (U ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] angle = int _ {mathbf {T}} z ^ {k} dm.}$

Pro k = 0,...,n, levá strana je

${displaystyle langle (U ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] angle = langle (V ^ {*}) ^ {k} [e_ {n + 1}], [e_ {n + 1}] úhel = jazyk [e_ {n + 1-k}], [e_ {n + 1}] úhel = A_ {n + 1, n + 1-k} = { ar {alpha _ {k}}}.}$

Tak

${displaystyle int _ {mathbf {T}} z ^ {- k} dm = int _ {mathbf {T}} {ar {z}} ^ {k} dm = alfa _ {k}.}$

Nakonec parametrizujte kruh jednotek T podle E^to v [0, 2π] dává

${displaystyle {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} e ^ {- ikt} dmu (t) = alpha _ {k}}$

pro nějaké vhodné opatření μ.

Parametrizace řešení

Výše uvedená diskuse ukazuje, že problém trigonometrického momentu má nekonečně mnoho řešení, pokud má Toeplitzova matice A je invertibilní. V takovém případě jsou řešení problému v bijektivní korespondenci s minimálními jednotkovými rozšířeními parciální izometrie PROTI.

Reference

• N.I. Akhiezer, Problém klasického momentu, Olivier a Boyd, 1965.
• N.I. Akhiezer, M.G. Kerin, Některé otázky v teorii okamžiků, Amer. Matematika. Soc., 1962.