Totální součtová funkce - Totient summatory function

v teorie čísel, totient sumační funkce ${ displaystyle Phi (n)}$ je součtová funkce z Eulerova totientová funkce definován:

${ displaystyle Phi (n): = součet _ {k = 1} ^ {n} varphi (k), quad n in mathbf {N}}$

Vlastnosti

Použitím Möbiova inverze k funkci totient získáme

${ displaystyle Phi (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} k součet _ {d mid k} { frac { mu (d)} {d}} = { frac { 1} {2}} left (1+ sum _ {k = 1} ^ {n} mu (k) left lfloor { frac {n} {k}} right rfloor ^ {2} že jo)}$

Φ (n) má asymptotickou expanzi

${ displaystyle Phi (n) sim { frac {1} {2 zeta (2)}} n ^ {2} + O left (n log n right),}$

kde ζ (2) je Funkce Riemann zeta pro hodnotu 2.

Φ (n) je počet dvojic celých čísel coprime {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n.

Součet reciproké totientové funkce

Součet reciproční totientní funkce je definován jako

${ displaystyle S (n): = součet _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} { varphi (k)}}}$

Edmund Landau v roce 1900 ukázal, že tato funkce má asymptotické chování

${ displaystyle S (n) sim A ( gamma + log n) + B + O left ({ frac { log n} {n}} right)}$

kde y je Euler – Mascheroniho konstanta,

${ displaystyle A = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { mu (k) ^ {2}} {k varphi (k)}} = { frac { zeta (2 ) zeta (3)} { zeta (6)}} = prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p (p-1)}} right)}$

a

${ displaystyle B = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { mu (k) ^ {2} log k} {k , varphi (k)}} = A , prod _ {p} left ({ frac { log p} {p ^ {2} -p + 1}} right).}$

Konstanta A = 1.943596... je někdy známý jako Landauova totientní konstanta. Součet ${ displaystyle textstyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k varphi (k)}}}$ je konvergentní a rovná se:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k varphi (k)}} = zeta (2) prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} vpravo) = 2,20386 ldots}$

V tomto případě je produkt nad prvočísly na pravé straně konstanta známá jako totient součtová konstanta^[1]a jeho hodnota je:

${ displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} right) = 1,339784 ldots}$

Viz také

• Aritmetická funkce

Reference

• Weisstein, Eric W. „Úplná souhrnná funkce“. MathWorld.

externí odkazy

• Totální součtová funkce
• Desetinná expanze součtu konstanty součtu (1 + 1 / (p ^ 2 * (p-1)), p prime> = 2)

Tento článek týkající se matematiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.