Titchmarshova konvoluční věta - Titchmarsh convolution theorem

The Titchmarshova konvoluční věta je pojmenován po Edward Charles Titchmarsh, britský matematik. Věta popisuje vlastnosti Podpěra, podpora z konvoluce dvou funkcí.

Titchmarshova konvoluční věta

E. C. Titchmarsh dokázal následující teorém, známý jako Titchmarshova konvoluční teorém, v roce 1926:

Li ${extstyle varphi (t),}$ a ${extstyle psi (t)}$ jsou integrovatelné funkce, takové

${displaystyle int _ {0} ^ {x} varphi (t) psi (x-t), dt = 0}$

téměř všude v intervalu ${displaystyle 0$, pak existují ${displaystyle lambda geq 0}$ a ${displaystyle mu geq 0}$ uspokojující ${displaystyle lambda + mu geq kappa}$ takhle ${displaystyle varphi (t) = 0,}$ téměř všude ${displaystyle 0$ a ${displaystyle psi (t) = 0,}$ téměř všude ${displaystyle 0$

Následuje následek:

Pokud je integrál nahoře 0 pro všechny ${extstyle x> 0,}$ pak buď ${extstyle varphi,}$ nebo ${extstyle psi}$ je téměř všude 0 v intervalu ${extstyle [0, + infty).}$

Věta může být vyjádřena v následující podobě:

Nechat ${displaystyle varphi, psi v L ^ {1} (mathbb {R})}$. Pak ${displaystyle inf operatorname {supp} varphi ast psi = inf operatorname {supp} varphi + inf operatorname {supp} psi}$ pokud je pravá strana konečná.

Podobně, ${displaystyle sup operatorname {supp} varphi ast psi = sup operatorname {supp} varphi + sup operatorname {supp} psi}$ pokud je pravá strana konečná.

Tato věta v podstatě uvádí, že známá inkluze

${displaystyle operatorname {supp} varphi ast psi podmnožina operatorname {supp} varphi + operatorname {supp} psi}$

je na hranici ostrý.

Vyšší dimenzionální zobecnění z hlediskakonvexní obal podpory prokázalJ.-L. Lvi v roce 1951:

Li ${displaystyle varphi, psi in {mathcal {E}} '(mathbb {R} ^ {n})}$, pak ${displaystyle operatorname {c.h.} operatorname {supp} varphi ast psi = operatorname {c.h.} operatorname {supp} varphi + operatorname {c.h.} operatorname {supp} psi.}$

Výše, ${displaystyle operatorname {c.h.}}$ označuje konvexní obal sady. ${displaystyle {mathcal {E}} '(mathbb {R} ^ {n})}$ označuje prostor distribuce s kompaktní podpora.

Věta postrádá základní důkaz^[1]. Původní důkaz od Titchmarsh je založen na Princip Phragmén – Lindelöf, Jensenova nerovnost, Věta o Carlemanovi, a Věta o Valironu. Další důkazy jsou obsaženy v [Hörmander, Theorem 4.3.3] (harmonická analýza styl), [Yosida, kapitola VI] (skutečná analýza styl) a [Levin, přednáška 16] (komplexní analýza styl).

Reference

• Titchmarsh, E.C. (1926). "Nuly určitých integrálních funkcí". Proceedings of the London Mathematical Society. 25: 283–302. doi:10.1112 / plms / s2-25.1.283.

• Lions, J.-L. (1951). Msgstr "Podporuje složení produkce". Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (I a II) | formát = vyžaduje | url = (Pomoc). 232: 1530–1532, 1622–1624.

• Mikusiński, J. a Świerczkowski, S. (1960). „Titchmarshova věta o konvoluci a teorii Dufresnoye“. Prace Matematyczne. 4: 59–76.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)

• Yosida, K. (1980). Funkční analýza. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Základní principy matematických věd), sv. 123 (6. vydání). Berlín: Springer-Verlag.

• Hörmander, L. (1990). Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů, I. Springer Study Edition (2. vydání). Berlín: Springer-Verlag.

• Levin, B. Ya. (1996). Přednášky o celých funkcích. Překlady matematických monografií, sv. 150. Providence, RI: American Mathematical Society.