Thurstonian model - Thurstonian model

A Thurstonian model je stochastická tranzitivita model s latentní proměnné pro popis mapování nějakého spojitého měřítka na diskrétní, případně uspořádané kategorie odezvy. V modelu odpovídá každá z těchto kategorií odezvy latentní proměnné, jejíž hodnota je čerpána z a normální distribuce, nezávisle na ostatních proměnných odezvy a s konstantní odchylkou. Vývoj v posledních dvou desetiletích však vedl k thurstonovským modelům, které umožňují nerovnoměrné rozptyly a nenulové kovarianční výrazy. Thurstonian modely byly použity jako alternativa k zobecněné lineární modely při analýze úkoly smyslové diskriminace.^[1] Byly také použity k modelování dlouhodobé paměti při hodnocení úkolů seřazených alternativ, jako je pořadí dodatků k ústavě USA.^[2] Jejich hlavní výhodou oproti jiným modelům v pořadí úkolů je to, že berou v úvahu nezávislost alternativ.^[3] Ennis ^[4] poskytuje komplexní popis odvození thurstonovských modelů pro širokou škálu behaviorálních úkolů, včetně preferenčního výběru, hodnocení, triád, tetrad, dvojic, stejných rozdílů a stupně rozdílu, hodností, první a poslední volby a hodnocení použitelnosti. V kapitole 7 této knihy je uveden výraz v uzavřené formě, odvozený v roce 1988, pro euklidovsko-gaussovský model podobnosti, který poskytuje řešení známého problému, že mnoho Thurstonianových modelů je výpočetně složitých a často zahrnuje vícenásobnou integraci. V kapitole 10 je uveden jednoduchý formulář pro hodnocení úkolů, který zahrnuje pouze součin funkcí jednorozměrného normálního rozdělení a obsahuje parametry závislé na pořadí. Je prokázána věta, která ukazuje, že konkrétní forma parametrů závislosti poskytuje jediný způsob, jak je toto zjednodušení možné. Kapitola 6 spojuje diskriminaci, identifikaci a preferenční výběr prostřednictvím společného vícerozměrného modelu ve formě vážených součtů centrálních F distribučních funkcí a umožňuje obecnou matici variance-kovarianční pro položky.

Definice

Zvažte sadu m možnosti seřadit podle n nezávislí soudci. Takové pořadí může být reprezentováno vektorem řazení r_n = (r_n1, r_n2, ..., r_nm).

Předpokládá se, že hodnocení je odvozeno od latentních proměnných se skutečnou hodnotou z_ij, představující vyhodnocení možnosti j soudcem i. Žebříčky r_i jsou deterministicky odvozeny od z_i takhle z_i(r_i1) < z_i(r_i2) < ... < z_i(r_im).

The z_i Předpokládá se, že jsou odvozeny od základní základní pravdivé hodnoty μ pro každou možnost. V nejobecnějším případě jsou multivariační normální:

${ displaystyle mathbf {z} _ {j} sim { mathcal {N}} ( mathbf { mu} _ {j}, mathbf { Sigma} _ {j})}$

Jedním společným zjednodušením je předpokládat izotropní Gaussovo rozdělení s jediným parametrem standardní odchylky pro každého soudce:

${ displaystyle mathbf {z} _ {j} sim { mathcal {N}} ( mathbf { mu} _ {j}, sigma _ {i} ^ {2} mathbf {I} ).}$

Odvození

The Gibbsův vzorkovač přístup k odhadu parametrů modelu je založen na Yao a Bockenholt (1999).^[3]

• Krok 1: Vzhledem k β, Σ a r_i, vzorek z_i.

The z_ij musí být odebrány vzorky ze zkráceného vícerozměrného normálního rozdělení, aby se zachovalo jejich pořadí. K efektivnímu vzorkování lze použít Hajivassiliouův zkrácený multivariační normální Gibbsův vzorkovač.^[5][6]

• Krok 2: Dáno Σ, z_i, vzorek β.

β se vzorkuje z a normální distribuce:

${ displaystyle beta sim { mathcal {N}} ( beta ^ {*}, Sigma ^ {*}).}$

kde β^* a Σ^* jsou aktuální odhady středních a kovariančních matic.

• Krok 3: Vzhledem k β, z_i, vzorek Σ.

Σ⁻¹ je vzorkován z a Wishart zadní, kombinující a Wishart s pravděpodobností dat ze vzorků ε_i =z_i - β.

Dějiny

Thurstonian modely byly představeny Louis Leon Thurstone popsat zákon srovnávacího úsudku.^[7] Před rokem 1999 byly thurstonovské modely zřídka používány pro modelování úkolů zahrnujících více než 4 možnosti kvůli vysokodimenzionální integraci potřebné k odhadu parametrů modelu. V roce 1999 představili Yao a Bockenholt své Gibbsův vzorkovač přístup k odhadu parametrů modelu.^[3] Tento komentář se však týká pouze hodnocení a Thurstonianské modely s mnohem širší škálou aplikací byly vyvinuty před rokem 1999. Například vícerozměrný Thurstonianův model pro preferenční výběr s obecnou strukturou variance-kovariance je popsán v kapitole 6 Ennis ( 2016), který byl založen na článcích publikovaných v letech 1993 a 1994. Ještě dříve byla v roce 1988 publikována uzavřená forma thurstonovského vícerozměrného modelu podobnosti s libovolnými kovariančními maticemi, jak je popsáno v kapitole 7 Ennisa (2016). Tento model má mnoho aplikací a není omezen na žádný konkrétní počet položek nebo jednotlivců.

Aplikace na smyslovou diskriminaci

Thurstonovské modely byly použity k řadě úkolů smyslové diskriminace, včetně sluchové, chuťové a čichové diskriminace, k odhadu smyslové vzdálenosti mezi podněty, které se pohybují podél určitého smyslového kontinua.^[8][9][10]

Thurstonianský přístup motivoval Frijter (1979) k vysvětlení Gridgemanova paradoxu, známého také jako paradox diskriminačních nediskriminačních osob:^{[1][9][11][12]} Lidé mají lepší výkon v úkolu vynucené volby se třemi alternativami, když jsou předem informováni, které dimenzi stimulu se mají věnovat. (Například lidé lépe identifikují, který z jednoho ze tří nápojů se liší od ostatních dvou, když jim bylo předem řečeno, že rozdíl bude ve stupni sladkosti.) Tento výsledek je vysvětlen odlišnými kognitivními strategiemi: když je relevantní dimenze předem známé, mohou lidé odhadovat hodnoty podél této konkrétní dimenze. Pokud příslušná dimenze není předem známa, musí se spoléhat na obecnější vícerozměrnou míru smyslové vzdálenosti.

Výše uvedený odstavec obsahuje běžné nedorozumění thurstonovského řešení Gridgemanova paradoxu. I když je pravda, že při výběru ze tří alternativ se používají různá rozhodovací pravidla (kognitivní strategie), pouhá skutečnost, že předem znáte atribut, paradox nevysvětluje, ani se od subjektů nevyžaduje, aby se spoléhaly na obecnější, vícerozměrné opatření senzorického rozdílu. Například v trojúhelníkové metodě je subjekt instruován, aby vybral nejrůznější ze tří položek, z nichž dvě jsou domněle identické. Položky se mohou v jednorozměrném měřítku lišit a subjekt může být předem informován o povaze stupnice. Gridgemanův paradox bude stále dodržován. K tomu dochází kvůli procesu vzorkování v kombinaci s pravidlem rozhodování na základě vzdálenosti na rozdíl od pravidla rozhodování založeného na velikosti, které se předpokládá k modelování výsledků úlohy 3-alternativní vynucené volby.

Viz také

• Thurstoneova stupnice
• Bradley-Terryho model
• Stochastická tranzitivita

Reference