Thurstonova norma - Thurston norm - Wikipedia

V matematice je Thurstonova norma je funkce na druhém homologická skupina orientovaného 3-potrubí představil William Thurston, který přirozeným způsobem měří topologickou složitost tříd homologie reprezentovaných povrchy.

Definice

Nechat ${ displaystyle M}$ být diferencovatelné potrubí a ${ displaystyle c v H_ {2} (M)}$. Pak ${ displaystyle c}$ může být reprezentován hladkým vkládání ${ displaystyle S až M}$, kde ${ displaystyle S}$ je (obecně není připojen) povrch který je kompaktní a bez hranic. Thurstonova norma z ${ displaystyle c}$ je pak definován jako^[1]

${ displaystyle | c | _ {T} = min _ {S} součet _ {i = 1} ^ {n} chi _ {-} (S_ {i})}$,

kde je minimum převzato přes všechny zapuštěné povrchy ${ displaystyle S = bigcup _ {i} S_ {i}}$ (dále jen ${ displaystyle S_ {i}}$ jako připojené komponenty) představující ${ displaystyle c}$ jak je uvedeno výše a ${ displaystyle chi _ {-} (F) = max (0, - chi (F))}$ je absolutní hodnota Eulerova charakteristika pro povrchy, které nejsou koulemi (a 0 pro koule).

Tato funkce splňuje následující vlastnosti:

• ${ displaystyle | kc | _ {T} = | k | cdot | c | _ {T}}$ pro ${ displaystyle c v H_ {2} (M), k v mathbb {Z}}$;
• ${ displaystyle | c_ {1} + c_ {2} | _ {T} leq | c_ {1} | _ {T} + | c_ {2} | _ {T}}$ pro ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2} v H_ {2} (M)}$.

Tyto vlastnosti to naznačují ${ displaystyle | cdot |}$ rozšiřuje na funkci na ${ displaystyle H_ {2} (M, mathbb {Q})}$ které pak lze rozšířit kontinuitou na a seminář ${ displaystyle | cdot | _ {T}}$ na ${ displaystyle H_ {2} (M, mathbb {R})}$.^[2] Podle Poincaré dualita, lze definovat Thurstonovu normu ${ displaystyle H ^ {1} (M, mathbb {R})}$.

Když ${ displaystyle M}$ je kompaktní s hranicí, Thurstonova norma je definována podobným způsobem na relativní homologie skupina ${ displaystyle H_ {2} (M, částečné M, mathbb {R})}$ a jeho Poincaré dual ${ displaystyle H ^ {1} (M, mathbb {R})}$.

Vyplývá to z další práce David Gabai^[3] že lze také definovat Thurstonovu normu pouze pomocí ponořený povrchy. To znamená, že Thurstonova norma se rovněž rovná polovině Gromovova norma o homologii.

Topologické aplikace

Norma Thurston byla zavedena s ohledem na její aplikace pro vlákna a foliace 3-potrubí.

Jednotková koule ${ displaystyle B}$ Thurstonovy normy 3-potrubí ${ displaystyle M}$ je polytop s celočíselnými vrcholy. Může být použit k popisu struktury sady vláknitých vláken ${ displaystyle M}$ přes kruh: pokud ${ displaystyle M}$ lze psát jako mapování torusu difeomorfismu ${ displaystyle f}$ povrchu ${ displaystyle S}$ pak vložení ${ displaystyle S hookrightarrow M}$ představuje třídu v top-dimenzionální (nebo otevřené) tváři ${ displaystyle B}$: navíc všechny ostatní celočíselné body na stejné ploše jsou také vlákna v takové fibraci.^[4]

Vložené povrchy, které ve své třídě homologie minimalizují Thurstonovu normu, jsou přesně uzavřenými listy foliací ${ displaystyle M}$.^[3]

Poznámky

Reference

• Gabai, David (1983). "Foliace a topologie 3-variet". Journal of Differential Geometry. 18: 445–503. PAN  0723813.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Thurston, William (1986). "Norma pro homologii 3-variet.". Monografie Americké matematické společnosti. 59 (33): i – vi a 99–130. PAN  0823443.CS1 maint: ref = harv (odkaz)