Tepelné simulace pro integrované obvody - Thermal simulations for integrated circuits

Miniaturizační komponenty byly vždy primárním cílem polovodič protože snižuje výrobní náklady a umožňuje společnostem stavět menší počítače a další zařízení. Miniaturizace však zvýšila rozptýlenou energii na jednotku plochy a učinila z ní klíčový omezující faktor integrovaný obvod výkon. Zvýšení teploty se stává relevantním pro vodiče s relativně malým průřezem, kde může ovlivnit normální chování polovodičů. Kromě toho, protože generování tepla je úměrné frekvenci provozu spínacích obvodů, rychlé počítače mají větší produkci tepla než ty pomalé, což je pro výrobce čipů nežádoucí účinek. Tento článek shrnuje fyzikální koncepty, které popisují generování a vedení tepla v integrovaném obvodu, a představuje numerické metody, které modelují přenos tepla z makroskopického hlediska.

Výroba a přenos tepla

Fourierův zákon

Na makroskopické úrovni Fourierův zákon uvádí vztah mezi přenášeným teplem za jednotku času na jednotku plochy a gradientem teploty:

{displaystyle q = -kappa abla T}

Kde ${displaystyle kappa}$ je tepelná vodivost, [W · m⁻¹ K.⁻¹].

Joule topení

Elektronické systémy fungují na základě proudových a napěťových signálů. Proud je tok nabitých částic materiálem a tyto částice (elektrony nebo otvory) interagují s mřížkou krystalu a ztrácejí energii, která se uvolňuje ve formě tepla. Joule Topení je převládající mechanismus pro výrobu tepla v integrovaných obvodech^[1] a ve většině případů je nežádoucím účinkem. Pro ohmický materiál má formu:

{displaystyle Q = j ^ {2} ho}

Kde ${displaystyle j}$ je hustota proudu v [A · m⁻²], ${displaystyle ho}$ je měrný elektrický odpor v [ ${displaystyle {Omega}}$ · M] a ${displaystyle Q}$ je vyrobené teplo na jednotku objemu v [W · m⁻³].^[1]

Rovnice přenosu tepla

Řídící rovnice fyziky přenos tepla Problém souvisí s tokem tepla v prostoru, jeho kolísáním v čase a výrobou energie následujícím výrazem:

{displaystyle abla left (kappa left (Tight) abla Tight) + g = ho C {frac {částečné T} {částečné t}}}

Kde ${displaystyle kappa}$ je tepelná vodivost, ${displaystyle ho}$ je hustota média, ${displaystyle C}$ je měrné teplo, ${displaystyle alpha = {frac {kappa} {ho C}}}$ , tepelná difuzivita a ${displaystyle g}$ je rychlost výroby tepla na jednotku objemu. Teplo difunduje ze zdroje podle výše uvedené rovnice a řešení v homogenním prostředí sleduje Gaussovo rozdělení.

Techniky řešení rovnice tepla

Kirchhoffova transformace

Zbavit se teplotní závislosti ${displaystyle kappa}$ , Lze provést Kirchhoffovu transformaci ^[2]

{displaystyle heta = T_ {s} + {frac {1} {kappa _ {s}}} int _ {T_ {s}} ^ {T} kappa (T) dT}

kde ${displaystyle kappa _ {s} = kappa left (T_ {s} ight)}$ a ${displaystyle T_ {s}}$ je teplota chladiče. Při použití této transformace se rovnice tepla změní na:

{displaystyle alpha abla ^ {2} heta + {frac {alpha} {kappa _ {s}}} g = {frac {částečná heta} {částečná t}}}

kde ${displaystyle alpha = {frac {kappa} {ho C}}}$ se nazývá difuzivita,^[2] což také závisí na teplotě. K úplné linearizaci rovnice se používá druhá transformace:

${displaystyle alpha _ {s} au = int _ {0} ^ {t} alfa (heta) dt}$

čímž se získá výraz:

${displaystyle abla ^ {2} heta - {frac {1} {alpha _ {s}}} {frac {částečná heta} {částečná au}} = - {frac {g} {kappa _ {s}}}}$

Jednoduché přímé použití této rovnice vyžaduje aproximaci. Další výrazy vznikající v transformovaném Laplacian jsou zrušeny, takže Laplacian zůstane v jeho konvenční podobě.^[2]

Analytická řešení

Ačkoli lze analytická řešení najít pouze pro konkrétní a jednoduché případy, poskytují dobrý přehled o řešení složitějších situací. Analytická řešení pro běžné subsystémy lze také kombinovat a poskytnout podrobný popis složitých struktur. V práci prof. Battyho^[2] je zavedena Fourierova řada expanze na teplotu v Laplaceově doméně, aby se našlo řešení linearizované tepelné rovnice.

Příklad

Tento postup lze použít na jednoduchý, ale netriviální případ: homogenní krychlový nástroj vyrobený z GaAs, L = 300 um. Cílem je najít rozložení teploty na horním povrchu. Horní povrch je diskretizován na menší čtverce s indexem i = 1 ... N. Jeden z nich je považován za zdroj.

Vezmeme Laplaceovu transformaci na rovnici tepla:

{displaystyle abla ^ {2} {ar {Theta}} - {frac {s} {k_ {s}}} {ar {Theta}} = 0}

kde ${displaystyle {overline {Theta}} = s heta - heta left (au = 0ight)}$

Funkce ${displaystyle {overline {Theta}}}$ je rozšířen z hlediska kosinových funkcí pro ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ proměnné a z hlediska hyperbolických kosinů a sinusů pro ${displaystyle z}$ proměnná. Dále, použitím adiabatických okrajových podmínek na bočních stěnách a fixní teploty dole (teplota chladiče), je odvozena rovnice matice tepelné impedance:

{displaystyle Delta heta _ {i} = součet _ {j = 1} ^ {N} R_ {TH_ {ij}} (t) P_ {j} (t)}

Kde index ${displaystyle j}$ odpovídá za zdroje energie, zatímco index ${displaystyle i}$ označuje každou malou oblast.

Další informace o odvození najdete v příspěvku profesora Battyho.^[2]Níže uvedený obrázek ukazuje ustálené teplotní rozložení této analytické metody pro kubický nástroj o rozměrech 300 um. Zdroj konstantní energie 0,3 W je aplikován na centrální povrch o rozměrech 0,1 L x 0,1 L. Jak se dalo očekávat, distribuce se s přiblížením k hranici rozpadá, maximum je umístěno ve středu a téměř dosahuje 400 K.

Numerická řešení

Numerická řešení používají k provádění simulace síť struktury. Nejoblíbenější metody jsou: Metoda konečné domény časová doména (FDTD), Metoda konečných prvků (FEM) a metoda momentů (MoM).

Metoda FDTD (finite-difference time-domain) je robustní a populární technika, která spočívá v numerickém řešení diferenciálních rovnic a určitých okrajových podmínek definovaných problémem. Toho je dosaženo diskretizací prostoru a času a použitím konečných diferenciálních vzorců, takže parciální diferenciální rovnice, které popisují fyziku problému, lze numericky vyřešit počítačovými programy.

MKP je také numerické schéma používané k řešení inženýrských a matematických problémů popsaných diferenciálními rovnicemi a okrajovými podmínkami. Diskretizuje prostor na menší prvky, kterým jsou základním funkcím přiřazeny jejich uzly nebo hrany. Základní funkce jsou lineární polynomy nebo polynomy vyššího řádu. Použitím diferenciální rovnice a okrajových podmínek úlohy na základní funkce je systém rovnic formulován pomocí buď Ritz nebo Galerkinova metoda. Nakonec se k řešení soustavy lineárních rovnic použije přímá nebo iterační metoda.^[3] Pro tepelný případ je metoda FEM vhodnější vzhledem k nelinearitě tepelných vlastností.

Příklad

Předchozí příklad lze vyřešit numerickou metodou. V tomto případě lze krychli diskretizovat na obdélníkové prvky. Jeho základní funkce lze zvolit jako aproximaci prvního řádu (lineární):

${displaystyle N_ {i} ^ {e} = {frac {1} {2}} xi vlevo (1mp zeta ight), qquad i = 1,4}$

${displaystyle N_ {i} ^ {e} = {frac {1} {2}} eta vlevo (1mp zeta ight), qquad i = 2,5}$

${displaystyle N_ {i} ^ {e} = {frac {1} {2}} vlevo (1-xi -eta ight) vlevo (1mp zeta ight), qquad i = 3,6}$

kde ${displaystyle zeta = 2 (z-z_ {c}) / h_ {z}}$ . Li ${displaystyle z_ {c} = 0}$ , pak ${displaystyle zeta = 2z / h_ {z}}$ .

Pomocí této základní funkce a po aplikaci Galerkinovy metody na rovnici přenosu tepla se získá maticová rovnice:

${displaystyle left [Sight] left {heta ight} + left [Right] {frac {d} {dt}} left {heta ight} = left {Bight}}$

kde,

{displaystyle R_ {ij} = int _ {v} N_ {j} N_ {i} dV}

{displaystyle S_ {ij} = kint _ {v} abla N_ {j} .abla N_ {i} dV}

{displaystyle B_ {i} = {frac {k} {kappa _ {s}}} int _ {Omega _ {1}} N_ {i} p (x, y) dOmega + {frac {k} {kappa _ { s}}} int _ {v} N_ {i} gdV-kT_ {o} součet _ {j = 0} ^ {N_ {D}} int _ {v} abla N_ {j} ^ {D} .abla N_ {i} dV}

.

Tyto výrazy lze vyhodnotit pomocí jednoduchého kódu FEM. Další podrobnosti naleznete na.^[3] Na obrázku níže je znázorněno rozdělení teploty pro případ numerického řešení. Toto řešení vykazuje velmi dobrou shodu s analytickým případem, jeho vrchol také dosahuje 390 K ve středu. Zjevný nedostatek plynulosti distribuce pochází z aproximace základních funkcí prvního řádu, což lze vyřešit použitím základních funkcí vyššího řádu. Lepších výsledků lze dosáhnout také použitím hustší sítě struktury; u velmi hustých sítí se ale doba výpočtu hodně zvyšuje, takže simulace je nepraktická.

Následující obrázek ukazuje srovnání vrcholové teploty jako funkce času pro obě metody. Systém přibližně dosáhne ustáleného stavu ${displaystyle 1ms}$ .

Modelová redukce objednávky

Numerické metody, jako je FEM nebo FDM, odvozují maticovou rovnici, jak je znázorněno v předchozí části. Abychom tuto rovnici vyřešili rychleji, zavolala jsme metodu Modelová redukce objednávky lze použít k nalezení aproximace nižšího řádu. Tato metoda je založena na skutečnosti, že vysokodimenzionální stavový vektor patří do nízkodimenzionálního podprostoru [1].

Obrázek níže ukazuje koncept aproximace MOR: nalezení matice V, rozměr systému lze zmenšit, aby se vyřešil zjednodušený systém.

Proto původní systém rovnice:

{displaystyle Cleft {xight} '+ Kleft {xight} = Fleft {uight}}

se stává:

{displaystyle V ^ {T} CVleft {zight} '+ V ^ {T} KVleft {zight} = V ^ {T} Fleft {uight}}

Jehož objednávka je mnohem nižší než u originálu, což činí výpočet mnohem levnějším. Jakmile je roztok získán, je původní vektor nalezen odebráním produktu s V.

Závěr

Výroba tepla se vyrábí hlavně joulovým ohřevem, tento nežádoucí účinek omezil výkon integrovaných obvodů. V přednastaveném článku bylo popsáno vedení tepla a byly představeny analytické a numerické metody řešení problému přenosu tepla. Pomocí těchto metod bylo vypočítáno rozdělení teploty v ustáleném stavu, stejně jako maximální teplota jako funkce času pro kubickou matrici. Pro vstupní výkon ${displaystyle 0,3 W}$ (nebo ${displaystyle 3.333e8W / m_ {2}}$ ) aplikovaný na jeden povrchový zdroj na kubickou matrici byl vypočítán špičkový přírůstek teploty řádově 100 K. Takové zvýšení teploty může ovlivnit chování okolních polovodičových součástek. Důležité parametry, jako je mobilita, se drasticky mění. To je důvod, proč je odvod tepla důležitým problémem a je třeba ho vzít v úvahu při návrhu obvodu.

Viz také

Výroba tepla v integrovaných obvodech

Reference

^ ^A ^b T. Bechtold, E. V. Rudnyi a J. G Korvink, "Dynamická elektrotepelná simulace mikrosystémů - přehled „Journal of Micromechanics and Microengineering. Sv. 15, s. R17 – R31, 2005
^ ^A ^b ^C ^d ^E W. Batty, C. E. Christoffersen, A. J. Panks, S. David, C. M. Snowden, M. B. Steer, “Elektrotermický CAD energetických zařízení a obvodů s plně fyzickým časově závislým kompaktním tepelným modelováním komplexních nelineárních 3D systémů, ”IEEE Trans. Comp. a Pack. Technologies, sv. 24, č. 4, s. 566–590, 2001.
^ ^A ^b J.-M. Jin, metoda konečných prvků v elektromagnetismu. New York: Wiley, 2. vydání, 2002

[test-1] A ^b T. Bechtold, E. V. Rudnyi a J. G Korvink, "Dynamická elektrotepelná simulace mikrosystémů - přehled „Journal of Micromechanics and Microengineering. Sv. 15, s. R17 – R31, 2005

[baty-2] A ^b ^C ^d ^E W. Batty, C. E. Christoffersen, A. J. Panks, S. David, C. M. Snowden, M. B. Steer, “Elektrotermický CAD energetických zařízení a obvodů s plně fyzickým časově závislým kompaktním tepelným modelováním komplexních nelineárních 3D systémů, ”IEEE Trans. Comp. a Pack. Technologies, sv. 24, č. 4, s. 566–590, 2001.

[jin-3] A ^b J.-M. Jin, metoda konečných prvků v elektromagnetismu. New York: Wiley, 2. vydání, 2002

[1]

[2]

[3]