Teoretická gravitace - Theoretical gravity - Wikipedia

v geodézie a geofyzika, teoretická gravitace nebo normální gravitace je aproximace skutečné gravitace na Země povrch pomocí a matematický model představující (fyzicky vyhlazenou) Zemi. Nejběžnějším modelem vyhlazené Země je Země elipsoid, nebo konkrétněji Země sféroid (tj. elipsoid revoluce).

Základní vzorce

Různé, postupně rafinovanější vzorce pro výpočet teoretické gravitace se označují jako Mezinárodní gravitační vzorecPrvní z nich navrhl v roce 1930 Mezinárodní asociace geodézie. Obecný tvar tohoto vzorce je:

${ displaystyle g ( phi) = g_ {e} vlevo (1 + A sin ^ {2} ( phi) -B sin ^ {2} (2 phi) vpravo),}$

ve kterém G(φ) je gravitace jako funkce zeměpisná šířka φ polohy, jejíž gravitaci je třeba určit, ${ displaystyle g_ {e}}$ označuje gravitaci na rovníku (určenou měřením) a koeficienty A a B jsou parametry, které je třeba zvolit, aby se dosáhlo dobrého globálního přizpůsobení skutečné gravitaci.^[1]

Pomocí hodnot parametru GRS80 referenční systém, běžně používaná specifická instance výše uvedeného vzorce je dána vztahem:

${ displaystyle g ( phi) = 9,780327 vlevo (1 + 0,0053024 sin ^ {2} ( phi) -0,0000058 sin ^ {2} (2 phi) vpravo) , mathrm {ms} ^ {-2}.}$^[1]

Pomocí příslušného vzorec dvojitého úhlu v kombinaci s Pytagorova identita, toto lze přepsat v ekvivalentních formách

$} mathrm {ms} ^ {- 2}, & = 9,780327 vlevo (1,0053024-0,0053256 cos ^ {2} ( phi) +. 0000232 cos ^ {4} ( phi) vpravo) , mathrm {ms} ^ {- 2}, & = 9,780327 vlevo (1,0026454-0,0026512 cos (2 phi) +. 0000058 cos ^ {2} (2 phi) vpravo) , mathrm {ms} ^ {- 2}. end {zarovnáno}} , !}$

Až do 60. let 20. století byly vzorce založené na Hayfordův elipsoid (1924) a slavného německého geodeta Helmert (1906) byly často používány.^{[Citace je zapotřebí ]} Rozdíl mezi hlavní poloosou (ekvatoriálním poloměrem) Hayfordova elipsoidu a moderní WGS84 elipsoid je 251 m; pro Helmertův elipsoid je to jen 63 m.

Novějším teoretickým vzorcem gravitace jako funkce zeměpisné šířky je International Gravity Formula 1980 (IGF80), rovněž založený na elipsoidu WGS80, ale nyní využívající Somigliana rovnice:

${ displaystyle g ( phi) = g_ {e} left [{ frac {1 + k sin ^ {2} ( phi)} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2 } ( phi)}}} vpravo], , !}$

kde,^[2]

• ${ displaystyle a, b}$ jsou rovníkové a polární poloosy;
• ${ displaystyle e ^ {2} = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ je sféroid excentricita, na druhou;
• ${ displaystyle g_ {e}, g_ {p}}$ je definovaná gravitace na rovníku a pólech;
• ${ displaystyle k = { frac {bg_ {p} -ag_ {e}} {ag_ {e}}}}$ (konstanta vzorce);

poskytující,

${ displaystyle g ( phi) = 9,7803267715 left [{ frac {1 + 0,001931851353 sin ^ {2} ( phi)} { sqrt {1-0.0066943800229 sin ^ {2} ( phi)}} } right] , mathrm {ms} ^ {- 2}.}$^[1]

Pozdější upřesnění na základě WGS84 elipsoid, je WGS (Světový geodetický systém ) 1984 Elipsoidní gravitační vzorec:^[2]

${ displaystyle g ( phi) = 9,7803253359 left [{ frac {1 + 0,00193185265241 sin ^ {2} ( phi)} { sqrt {1-0.00669437999013 sin ^ {2} ( phi)}} } right] , mathrm {ms} ^ {- 2}.}$

(kde ${ displaystyle g_ {p}}$ = 9,8321849378 ms⁻²)

Rozdíl s IGF80 je při použití nevýznamný geofyzikální účely,^[1] ale může být významné pro jiné použití.

Více podrobností

Somigliana vzorec

Pro normální gravitaci ${ displaystyle gamma _ {0}}$ elipsoidu hladiny moře, tj. nadmořská výška h = 0, platí tento vzorec Somigliany (1929) (po Carlo Somigliana (1860–1955)^[3]):

${ displaystyle gamma _ {0} ( varphi) = { frac {a cdot gamma _ {a} cdot cos ^ {2} varphi + b cdot gamma _ {b} cdot sin ^ {2} varphi} { sqrt {a ^ {2} cdot cos ^ {2} varphi + b ^ {2} cdot sin ^ {2} varphi}}}}$

s

• ${ displaystyle gamma _ {a}}$ = Normální gravitace na rovníku
• ${ displaystyle gamma _ {b}}$ = Normální gravitace u Poláků
• A = poloviční hlavní osa (Poloměr rovníku)
• b = poloviční vedlejší osa (Poloměr pólu)
• ${ displaystyle varphi}$ = zeměpisná šířka

Kvůli numerické problémy, vzorec je zjednodušený do tohoto:

${ displaystyle gamma _ {0} ( varphi) = gamma _ {a} cdot { frac {1 + p cdot sin ^ {2} varphi} { sqrt {1-e ^ {2 } cdot sin ^ {2} varphi}}}}$

s

• ${ displaystyle p = { frac {b cdot gamma _ {b}} {a cdot gamma _ {a}}} - 1}$
• ${ displaystyle e ^ {2} = 1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}; quad e}$ je excentricita

Pro Geodetický referenční systém 1980 (GRS 80) parametry jsou nastaveny na tyto hodnoty:

${ displaystyle a = 6 , 378 , 137 , mathrm {m} quad quad quad quad b = 6 , 356 , 752 {.} 314 , 1 , mathrm {m} }$

${ displaystyle gamma _ {a} = 9 {.} 780 , 326 , 771 , 5 , mathrm { frac {m} {s ^ {2}}} quad gamma _ {b} = 9 {.} 832 , 186 , 368 , 5 , mathrm { frac {m} {s ^ {2}}}}$

${ displaystyle Rightarrow p = 1 {.} 931 , 851 , 353 cdot 10 ^ {- 3} quad e ^ {2} = 6 {.} 694 , 380 , 022 , 90 cdot 10 ^ {- 3}}$

Aproximační vzorec z řady expanzí

Somigliana vzorec byl aproximován pomocí různých rozšíření série podle tohoto schématu:

${ displaystyle gamma _ {0} ( varphi) = gamma _ {a} cdot (1+ beta cdot sin ^ {2} varphi + beta _ {1} cdot sin ^ { 2} 2 varphi + tečky)}$

Mezinárodní gravitační vzorec 1930

Normální gravitační vzorec podle Gino Cassinis byla stanovena v roce 1930 Mezinárodní unie geodézie a geofyziky jako mezinárodní gravitační vzorec spolu s Hayfordův elipsoid. Parametry jsou:

${ displaystyle gamma _ {a} = 9 {.} 78049 { frac { mathrm {m}} { mathrm {s} ^ {2}}} quad beta = 5 {.} 2884 cdot 10 ^ {- 3} quad beta _ {1} = - 5 {.} 9 cdot 10 ^ {- 6}}$

V průběhu času byly hodnoty opět vylepšeny o novější znalosti a přesnější metody měření.

Harold Jeffreys vylepšil hodnoty v roce 1948 na:

${ displaystyle gamma _ {a} = 9 {.} 780373 { frac { mathrm {m}} { mathrm {s} ^ {2}}} quad beta = 5 {.} 2891 cdot 10 ^ {- 3} quad beta _ {1} = - 5 {.} 9 cdot 10 ^ {- 6}}$

Mezinárodní gravitační vzorec 1967

Normální gravitační vzorec Geodetického referenčního systému 1967 je definován hodnotami:

${ displaystyle gamma _ {a} = 9 {.} 780318 { frac { mathrm {m}} { mathrm {s} ^ {2}}} quad beta = 5 {.} 3024 cdot 10 ^ {- 3} quad beta _ {1} = - 5 {.} 9 cdot 10 ^ {- 6}}$

Mezinárodní gravitační vzorec 1980

Z parametrů GRS 80 vychází klasické sériové rozšíření:

${ displaystyle gamma _ {a} = 9 {.} 780327 { frac { mathrm {m}} { mathrm {s} ^ {2}}} quad beta = 5 {.} 3024 cdot 10 ^ {- 3} quad beta _ {1} = - 5 {.} 8 cdot 10 ^ {- 6}}$

Přesnost je přibližně ± 10⁻⁶ slečna².

S GRS 80 je také představeno následující rozšíření řady:

${ displaystyle gamma _ {0} ( varphi) = gamma _ {a} cdot (1 + c_ {1} cdot sin ^ {2} varphi + c_ {2} cdot sin ^ { 4} varphi + c_ {3} cdot sin ^ {6} varphi + c_ {4} cdot sin ^ {8} varphi + dots)}$

Parametry jako takové jsou:

• C₁ = 5.279 0414·10⁻³
• C₂ = 2.327 18·10⁻⁵
• C₃ = 1.262·10⁻⁷
• C₄ = 7·10⁻¹⁰

Přesnost je přibližně ± 10⁻⁹ slečna² přesný. Pokud není požadována přesnost, lze výrazy na zadní straně vynechat. Doporučuje se však použít tento dokončený vzorec.

Závislost na výšce

Cassinis určil výškovou závislost jako:

${ displaystyle g ( varphi, h) = g_ {0} ( varphi) - left (3 {.} 08 cdot 10 ^ {- 6} , { frac {1} { mathrm {s} ^ {2}}} - 4 {.} 19 cdot 10 ^ {- 7} , { frac { mathrm {cm} ^ {3}} { mathrm {g} cdot mathrm {s} ^ {2}}} cdot rho right) cdot h}$

Průměrná skála hustota ρ již není bráno v úvahu.

Od GRS 1967 závislost na elipsoidní výška  h je:

${ displaystyle { begin {aligned} g ( varphi, h) & = g_ {0} ( varphi) - left (1-1 {.} 39 cdot 10 ^ {- 3} cdot sin ^ {2} ( varphi) right) cdot 3 {.} 0877 cdot 10 ^ {- 6} , { frac {1} { mathrm {s} ^ {2}}} cdot h + 7 {.} 2 cdot 10 ^ {- 13} , { frac {1} { mathrm {m} cdot mathrm {s} ^ {2}}} cdot h ^ {2} & = g_ {0} ( varphi) - left (3 {.} 0877 cdot 10 ^ {- 6} -4 {.} 3 cdot 10 ^ {- 9} cdot sin ^ {2} ( varphi ) right) , { frac {1} { mathrm {s} ^ {2}}} cdot h + 7 {.} 2 cdot 10 ^ {- 13} , { frac {1} { mathrm {m} cdot mathrm {s} ^ {2}}} cdot h ^ {2} end {zarovnáno}}}$

Další výraz je:

${ displaystyle g ( varphi, h) = g_ {0} ( varphi) cdot (1- (k_ {1} -k_ {2} cdot sin ^ {2} varphi) cdot h + k_ {3} cdot h ^ {2})}$

s parametry odvozenými od GSR80:

• ${ displaystyle k_ {1} = 2 cdot (1 + f + m) / a = 3 {.} 157 , 04 cdot 10 ^ {- 7} , mathrm {m ^ {- 1}}}$
• ${ displaystyle k_ {2} = 4 cdot f / a = 2 {.} 102 , 69 cdot 10 ^ {- 9} , mathrm {m ^ {- 1}}}$
• ${ displaystyle k_ {3} = 3 / (a ​​^ {2}) = 7 {.} 374 , 52 cdot 10 ^ {- 14} , mathrm {m ^ {- 2}}}$

Tato úprava je asi správná pro běžné výšky v Letectví; Ale pro výšky až vesmír (přes asi 100 kilometrů) to je mimo dosah.

Vzorec WELMEC

Ve všech němčinách normalizační kanceláře zrychlení volného páduG se vypočítá s ohledem na průměrnou šířku φ a průměr výška nad mořem  h s WELMEC –Formel:

${ displaystyle g ( varphi, h) = left (1 + 0 {.} 0053024 cdot sin ^ {2} ( varphi) -0 {.} 0000058 cdot sin ^ {2} (2 varphi) right) cdot 9 {.} 780318 { frac { mathrm {m}} { mathrm {s} ^ {2}}} - 0 {.} 000003085 , { frac {1} { mathrm {s} ^ {2}}} cdot h}$

Vzorec je založen na mezinárodním gravitačním vzorci z roku 1967.

Stupnice zrychlení volného pádu na určitém místě musí být stanovena přesným měřením několika mechanických veličin. Váhové škály, jehož hmotnost se měří kvůli hmotnosti, závisí na zrychlení volného pádu, takže pro použití musí být připraveny s různými konstantami na různých místech použití. Prostřednictvím konceptu tzv. Gravitačních zón, které jsou rozděleny pomocí normální gravitace, může být váha před použitím kalibrována výrobcem.^[4]

Příklad

Zrychlení volným pádem v Schweinfurt:

Data:

• Zeměpisná šířka: 50 ° 3 ′ 24 ″ = 50,0567 °
• Výška nad mořem: 229,7 m
• Hustota skalních desek: ca. 2,6 g / cm3
• Měřené zrychlení volným pádem: g = 9,8100 ± 0,0001 m / s²

Zrychlení volným pádem, vypočítané pomocí vzorců normální gravitace:

• Cassinis: G = 9,81038 m / s²
• Jeffreys: G = 9,81027 m / s²
• WELMEC: G = 9,8 1004 m / s²

Viz také

• Gravitační anomálie
• Referenční elipsoid
• EGM96 (Earth Gravitational Model 1996)
• Standardní gravitace : 9,806 65 m / s²

Reference

Další čtení

• Karl Ledersteger: Astronomische und physikalische Geodäsie. Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Metzler, Stuttgart 1969
• B. Hofmann-Wellenhof, Helmut Moritz: Fyzická geodézie, ISBN  3-211-23584-1Springer-Verlag Wien 2006.
• Wolfgang Torge: Geodäsie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlín u.a. 2003. ISBN  3-11-017545-2
• Wolfgang Torge: Geodäsie. Walter de Gruyter, Berlín u.a. 1975 ISBN  3-11-004394-7

externí odkazy

• Definice geodetického referenčního systému 1980 (GRS80) (pdf, anglicky; 70 kB)
• Gravitační informační systém der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, angl.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln

Tento geodézie související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.