Taylor – Goldsteinova rovnice - Taylor–Goldstein equation

The Taylor – Goldsteinova rovnice je obyčejná diferenciální rovnice použitý v polích dynamika geofyzikální tekutiny a obecněji v dynamika tekutin, v přítomnosti kvazi2D proudí.^[1] Popisuje to dynamika z Kelvin – Helmholtzova nestabilita, s výhradou vztlak síly (např. gravitace) pro stabilně stratifikované tekutiny v rozptyl bez omezení. Nebo obecněji dynamika vnitřní vlny v přítomnosti (kontinuální) stratifikace hustoty a smykový tok. Taylor-Goldsteinova rovnice je odvozena z 2D Eulerovy rovnice, za použití Boussinesqova aproximace.^[2]

Rovnice je pojmenována po G.I. Taylor a S. Goldstein, který rovnici odvodil nezávisle na sobě v roce 1931. Třetí nezávislou derivaci, rovněž v roce 1931, vytvořil B. Haurwitz.^[2]

Formulace

A schematické schéma základního stavu systému. Průtok, který je předmětem šetření, představuje malou odchylku od tohoto stavu. Zatímco základní stav je paralelní, rychlost rušení má složky v obou směrech.

Rovnice je odvozena řešením a linearizovaný verze Navier-Stokesova rovnice, v přítomnosti gravitace ${ displaystyle g}$ a střední gradient hustoty (s délkou gradientu ${ displaystyle L _ { rho}}$), pro pole rychlosti rušení

${ displaystyle mathbf {u} = doleva [U (z) + u '(x, z, t), 0, w' (x, z, t) doprava], ,}$

kde ${ displaystyle (U (z), 0,0)}$ je nerušený nebo základní tok. Rychlost rušení má mávat -jako řešení ${ displaystyle mathbf {u} ' propto exp (i alpha (x-ct))}$ (skutečná část rozumět). Pomocí těchto znalostí a streamfunction zastoupení${ displaystyle u_ {x} '= d { tilde { phi}} / dz, u_ {z}' = - i alpha { tilde { phi}}}$ pro tok se získá následující rozměrný tvar Taylor-Goldsteinovy ​​rovnice:

${ displaystyle (Uc) ^ {2} left ({d ^ {2} { tilde { phi}} over dz ^ {2}} - alpha ^ {2} { tilde { phi}} right) + left [N ^ {2} - (Uc) {d ^ {2} U over dz ^ {2}} right] { tilde { phi}} = 0,}$

kde ${ displaystyle N = { sqrt {g over L _ { rho}}}}$ označuje Frekvence Brunt – Väisälä. The vlastní číslo parametr problému je ${ displaystyle c}$. Pokud je imaginární část rychlost vlny ${ displaystyle c}$ je kladné, pak je tok nestabilní a malá odchylka zavedená do systému je časově zesílena.

Všimněte si, že a čistě imaginární Frekvence Brunt – Väisälä ${ displaystyle N}$ vede k toku, který je vždy nestabilní. Tato nestabilita je známá jako Rayleigh – Taylorova nestabilita.

Protiskluzové okrajové podmínky

Příslušné okrajové podmínky jsou v případě protiskluz okrajové podmínky v horní a dolní části kanálu ${ displaystyle z = z_ {1}}$ a ${ displaystyle z = z_ {2}:}$

${ displaystyle alpha { tilde { phi}} = {d { tilde { phi}} over dz} = 0 quad { text {at}} z = z_ {1} { text {a }} z = z_ {2}.}$

Poznámky

Reference

• Craik, A.D.D. (1988), Vlnové interakce a proudění tekutin, Cambridge University Press, ISBN  0-521-36829-4