Symplektizace - Symplectization

v matematika, symplectization a kontaktní potrubí je symplektické potrubí což tomu přirozeně odpovídá.

Definice

Nechat ${ displaystyle (V, xi)}$ být kontaktním potrubím a nechat ${ displaystyle x ve V}$. Zvažte sadu

${ displaystyle S_ {x} V = { beta v T_ {x} ^ {*} V - {0 } mid ker beta = xi _ {x} } podmnožina T_ {x } ^ {*} V}$

všech nenulových 1-formy na ${ displaystyle x}$, které mají kontaktní rovinu ${ displaystyle xi _ {x}}$ jako jejich jádro. Unie

${ displaystyle SV = bigcup _ {x in V} S_ {x} V podmnožina T ^ {*} V}$

je symplektický podmanifold z kotangenský svazek z ${ displaystyle V}$, a má tedy přirozenou symplektickou strukturu.

The projekce ${ displaystyle pi: SV až V}$ dodává symplectization se strukturou a hlavní balíček přes ${ displaystyle V}$ s strukturní skupina ${ displaystyle mathbb {R} ^ {*} equiv mathbb {R} - {0 }}$.

Koordinovatelný případ

Když kontaktní struktura ${ displaystyle xi}$ je koordinovaný pomocí a Kontaktní formulář ${ displaystyle alpha}$, existuje další verze symplectizace, ve které jsou pouze formy poskytující stejnou koorientaci ${ displaystyle xi}$ tak jako ${ displaystyle alpha}$ jsou považovány:

${ displaystyle S_ {x} ^ {+} V = { beta v T_ {x} ^ {*} V - {0 } , | , beta = lambda alfa, , lambda> 0 } podmnožina T_ {x} ^ {*} V,}$

${ displaystyle S ^ {+} V = bigcup _ {x ve V} S_ {x} ^ {+} V podmnožina T ^ {*} V.}$

Všimněte si, že ${ displaystyle xi}$ je coorientable právě tehdy, když je to balíček ${ displaystyle pi: SV až V}$ je triviální. Žádný sekce tohoto svazku je forma koordinace pro kontaktní strukturu.