Dvourozměrný Minkowského prostor , tj. plochý prostor s jednou časovou a jednou prostorovou dimenzí, má dvojrozměrný Poincarého skupina IO (1,1) jako jeho skupina symetrie . Příslušné Lež algebra se nazývá Poincarého algebra . Je možné tuto algebru rozšířit na a supersymetrická algebra , což je Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _ {2}} - hodnoceno Lež superalgebra . Nejběžnější způsoby, jak toho dosáhnout, jsou popsány níže.
Obsah 1 N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} algebra2 Subalgebry N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} algebra 2.1 The N = ( 0 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)} a N = ( 2 , 0 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)} subalgebry 2.2 The N = ( 1 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)} subalgebra 2.3 The N = ( 0 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (0,1)} a N = ( 1 , 0 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,0)} subalgebry 3 Viz také 4 Reference N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} algebraNechte ležovou algebru IO (1,1) vygenerovat následujícími generátory:
H = P 0 {displaystyle H = P_ {0}} je generátor časového překladu, P = P 1 {displaystyle P = P_ {1}} je generátor vesmírného překladu, M = M 01 {displaystyle M = M_ {01}} je generátor Lorentz posiluje .Informace o komutátorech mezi těmito generátory viz Poincarého algebra .
The N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} supersymetrická algebra nad tímto prostorem je a supersymetrické prodloužení této Lieovy algebry se čtyřmi dalšími generátory (přeplňování ) Q + , Q − , Q ¯ + , Q ¯ − {displaystyle Q _ {+} ,, Q _ {-} ,, {overline {Q}} _ {+} ,, {overline {Q}} _ {-}} , což jsou liché prvky Lieovy superalgebry. Pod Lorentzovými transformacemi generátory Q + {displaystyle Q _ {+}} a Q ¯ + {displaystyle {overline {Q}} _ {+}} transformovat jako levák Weyl spinors , zatímco Q − {displaystyle Q _ {-}} a Q ¯ − {displaystyle {overline {Q}} _ {-}} transformovat jako pravoruké Weylovy rotory Algebra je dána Poincarého algebrou plus[1] :283
Q + 2 = Q − 2 = Q ¯ + 2 = Q ¯ − 2 = 0 , { Q ± , Q ¯ ± } = H ± P , { Q ¯ + , Q ¯ − } = Z , { Q + , Q − } = Z ∗ , { Q − , Q ¯ + } = Z ~ , { Q + , Q ¯ − } = Z ~ ∗ , [ i M , Q ± ] = ∓ Q ± , [ i M , Q ¯ ± ] = ∓ Q ¯ ± , {displaystyle {egin {aligned} & {egin {aligned} & Q _ {+} ^ {2} = Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = {overline {Q }} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q_ {pm}, {overline {Q}} _ {pm}} = Hpm P, end {aligned}} & {egin {aligned} & {{overline {Q}} _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = Z, && {Q _ {+}, Q _ {-}} = Z ^ {*}, & {Q_ { -}, {overline {Q}} _ {+}} = {ilde {Z}}, && {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = {ilde {Z}} ^ {* }, & {[iM, Q_ {pm}]} = mp Q_ {pm}, && {[iM, {overline {Q}} _ {pm}]} = mp {overline {Q}} _ {pm} , konec {zarovnaný}} konec {zarovnaný}}}
kde zmizí všechny zbývající komutátory a Z {displaystyle Z} a Z ~ {displaystyle {ilde {Z}}} jsou složité centrální poplatky . Přeplňování souvisí prostřednictvím Q ± † = Q ¯ ± {displaystyle Q_ {pm} ^ {dagger} = {overline {Q}} _ {pm}} . H {displaystyle H} , P {displaystyle P} , a M {displaystyle M} jsou Hermitian .
Subalgebry N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} algebra The N = ( 0 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)} a N = ( 2 , 0 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)} subalgebry The N = ( 0 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)} subalgebra se získává z N = ( 2 , 2 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)} algebra odstraněním generátorů Q − {displaystyle Q _ {-}} a Q ¯ − {displaystyle {overline {Q}} _ {-}} . Proto jsou jeho anti-komutační vztahy dány[1] :289
Q + 2 = Q ¯ + 2 = 0 , { Q + , Q ¯ + } = H + P {displaystyle {egin {aligned} & Q _ {+} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = 0, & {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {+ }} = H + P end {zarovnáno}}}
plus komutační vztahy výše nezahrnují Q − {displaystyle Q _ {-}} nebo Q ¯ − {displaystyle {overline {Q}} _ {-}} . Oba generátory jsou Weylovy rotory pro levou ruku.
Podobně N = ( 2 , 0 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)} subalgebra se získá odstraněním Q + {displaystyle Q _ {+}} a Q ¯ + {displaystyle {overline {Q}} _ {+}} a plní
Q − 2 = Q ¯ − 2 = 0 , { Q − , Q ¯ − } = H − P . {displaystyle {egin {aligned} & Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q _ {-}, {overline {Q}} _ {- }} = HP. End {zarovnáno}}}
Oba generátory přeplňování jsou praváky.
The N = ( 1 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)} subalgebra The N = ( 1 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)} subalgebra je generována dvěma generátory Q + 1 {displaystyle Q _ {+} ^ {1}} a Q − 1 {displaystyle Q _ {-} ^ {1}} dána
Q ± 1 = E i ν ± Q ± + E − i ν ± Q ¯ ± {displaystyle {egin {aligned} Q_ {pm} ^ {1} = e ^ {iu _ {pm}} Q_ {pm} + e ^ {- iu _ {pm}} {overline {Q}} _ {pm} konec {zarovnáno}}} pro dvě reálná čísla ν + {displaystyle u _ {+}} a ν − {displaystyle u _ {-}} .
Podle definice jsou oba přeplňování skutečné, tj. ( Q ± 1 ) † = Q ± 1 {displaystyle (Q_ {pm} ^ {1}) ^ {dagger} = Q_ {pm} ^ {1}} . Transformují se jako Spinory Majorana-Weyl pod Lorentzovými transformacemi. Jejich anti-komutační vztahy jsou dány[1] :287
{ Q ± 1 , Q ± 1 } = 2 ( H ± P ) , { Q + 1 , Q − 1 } = Z 1 , {displaystyle {egin {aligned} & {Q_ {pm} ^ {1}, Q_ {pm} ^ {1}} = 2 (Hpm P), & {Q _ {+} ^ {1}, Q _ {-} ^ {1}} = Z ^ {1}, konec {zarovnáno}}}
kde Z 1 {displaystyle Z ^ {1}} je skutečný centrální poplatek.
The N = ( 0 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (0,1)} a N = ( 1 , 0 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,0)} subalgebry Tyto algebry lze získat z N = ( 1 , 1 ) {displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)} subalgebra odstraněním Q − 1 {displaystyle Q _ {-} ^ {1}} resp. Q + 1 {displaystyle Q _ {+} ^ {1}} od generátorů.
Viz také Reference K. Schoutens, Supersymmetry and factorized scattering, Nucl.Phys. B344, 665–695, 1990 T.J. Hollowood, E. Mavrikis, The N = 1 supersymetrický bootstrap a Lie algebry, Nucl. Phys. B484, 631–652, 1997, arXiv: hep-th / 9606116