Funkce Stumpff - Stumpff function

v nebeská mechanika, Stumpff funkce C_k(X), vyvinutý společností Karl Stumpff, se používají k analýze oběžné dráhy za použití univerzální proměnná formulace.^[1][2][3] Jsou definovány vzorcem:

${displaystyle c_ {k} (x) = {frac {1} {k!}} - {frac {x} {(k + 2)!}} + {frac {x ^ {2}} {(k + 4 )!}} - cdots = součet _ {i = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {i} x ^ {i}} {(k + 2i)!}}}$

pro ${displaystyle k = 0,1,2,3, ldots}$ The série výše absolutně konverguje pro všechny nemovitý X.

Porovnáním Taylor série rozšíření trigonometrické funkce hřích a cos s C₀(X) a C₁(X), lze najít vztah:

${displaystyle c_ {0} (x) = cos {sqrt {x}}, {ext {for}} x> 0}$

${displaystyle c_ {1} (x) = {frac {sin {sqrt {x}}} {sqrt {x}}}, {ext {for}} x> 0}$

Podobně porovnáním s rozšířením hyperbolické funkce sinh a cosh najdeme:

${displaystyle c_ {0} (x) = cosh {sqrt {-x}}, {ext {for}} x <0}$

${displaystyle c_ {1} (x) = {frac {sinh {sqrt {-x}}} {sqrt {-x}}}, {ext {for}} x <0}$

Funkce Stumpff uspokojí relace opakování:

${displaystyle xc_ {k + 2} (x) = {frac {1} {k!}} - c_ {k} (x), {ext {for}} k = 0,1,2, ldots,.}$

Funkce Stumpff lze vyjádřit pomocí Funkce Mittag-Leffler:

${displaystyle c_ {k} (x) = E_ {2, k + 1} (- x).}$

Reference

Tento astronomie související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.