Konstrukční tuhost - Structural rigidity

Grafy jsou nakresleny jako tyče spojené otočnými závěsy. The graf cyklu C₄ nakreslený jako čtverec lze překlopit modrou silou do rovnoběžníku, takže se jedná o flexibilní graf. K.₃, nakreslený jako trojúhelník, nelze změnit žádnou silou, která na něj působí, takže se jedná o tuhý graf.

v diskrétní geometrie a mechanika, strukturální tuhost je kombinatorická teorie pro předpovídání flexibility souborů tvořených tuhá tělesa propojen flexibilním vazby nebo panty.

Definice

Tuhost je vlastnost konstrukce, která se pod aplikovanou silou neohne ani neohne. Opakem tuhosti je flexibilita. V teorii strukturní tuhosti jsou struktury tvořeny souborem objektů, které jsou samy tuhými tělesy, o nichž se často předpokládá, že mají jednoduché geometrické tvary, jako jsou přímé tyče (úsečky), s dvojicemi objektů spojenými pružnými závěsy. Konstrukce je tuhá, pokud se nemůže ohýbat; to znamená, pokud nedochází k nepřetržitému pohybu konstrukce, který zachovává tvar jejích tuhých součástí a vzor jejich spojení na závěsech.

Existují dva zásadně odlišné druhy tuhosti. Konečný nebo makroskopická tuhost znamená, že se struktura nebude ohýbat, skládat nebo ohýbat o kladné množství. Nekonečně malá tuhost znamená, že struktura se neohne ani o částku, která je příliš malá na to, aby ji bylo možné detekovat i teoreticky. (Technicky to znamená, že určité diferenciální rovnice nemají nenulová řešení.) Důležitost konečné tuhosti je zřejmá, ale nekonečně malá tuhost je také zásadní, protože nekonečně malá flexibilita teoreticky odpovídá nepatrnému ohýbání v reálném světě a následnému zhoršení struktury.

A tuhý graf je vkládání a graf v Euklidovský prostor který je strukturálně tuhý.^[1] To znamená, že graf je tuhý, pokud je struktura tvořená nahrazením hran tuhými tyčemi a vrcholy pružnými závěsy tuhá. Volá se graf, který není rigidní flexibilní. Formálněji je vložení grafu flexibilní, pokud lze vrcholy posunout nepřetržitě, při zachování vzdáleností mezi sousedními vrcholy, což má za následek změnu vzdáleností mezi některými nesousedícími vrcholy.^[2] Druhá podmínka vylučuje Euklidovské shody jako je jednoduchý překlad a rotace.

Je také možné vzít v úvahu problémy tuhosti pro grafy, ve kterých představují některé hrany kompresní prvky (schopné protáhnout se na delší délku, ale ne zmenšit se na kratší délku), zatímco ostatní hrany představují napínací prvky (schopen zmenšit, ale ne natáhnout). Tuhý graf s hranami těchto typů tvoří matematický model a tensegrity struktura.

Matematika tuhosti

The Moser vřeteno, tuhý graf a příklad a Lamanův graf.

Základním problémem je, jak předpovědět tuhost konstrukce pomocí teoretické analýzy, aniž by bylo nutné ji budovat. Mezi klíčové výsledky v této oblasti patří:

• V každé dimenzi je tuhost spojovacích tyčí a pantů popsána a matroid. Základny dvourozměrného tuhost matroid (minimálně tuhé grafy v rovině) jsou Lamanovy grafy.
• Cauchyova věta uvádí, že trojrozměrný konvexní mnohostěn zkonstruovaný s tuhými deskami pro jeho tváře, spojenými závěsy podél jeho okrajů, tvoří tuhou strukturu.
• Flexibilní mnohostěn, nekonvexní mnohostěny, které nejsou tuhé, byly konstruovány pomocí Raoul Bricard, Robert Connelly, a další. The měch dohad, nyní prokázáno, uvádí, že jakýkoli kontinuální pohyb pružného mnohostěnu musí zachovat jeho objem.

V mnoha dalších jednoduchých situacích však dosud není vždy známo, jak matematicky analyzovat tuhost struktury, a to navzdory existenci značné matematické teorie.

Dějiny

Jedním ze zakladatelů matematické teorie strukturní tuhosti byl velký fyzik James Clerk Maxwell. Na konci dvacátého století došlo k rozkvětu matematické teorie tuhosti, která pokračuje v 21. století.

„[A] teorie rovnováhy a výchylek konstrukcí vystavených působení sil působí na tvrdost kvality ... v případech, kdy je konstrukce ... posílena dalšími spojovacími prvky ... v případech tří dimenze, pravidelnou metodou rovnic sil by každý bod měl tři rovnice pro určení jeho rovnováhy, aby poskytl 3s rovnice mezi e neznámými veličinami, pokud s je počet bodů a e počet spojení [sic]. Existuje však šest rovnic rovnováhy systému, které musí síly nutně splnit z důvodu rovnosti akce a reakce v každém díle. Proto pokud e == 3s-6, účinek jakékoli věčné síly bude být definitivní při vytváření napětí nebo tlaku v různých částech; ale pokud e> 3s-6, budou tyto síly neurčité .... “[Maxwell 1864]^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Kritérium Chebychev – Grübler – Kutzbach

Poznámky

Reference

• Alfakih, Abdo Y. (2007), „O rozměrové tuhosti rámových konstrukcí prutů a spojů“, Diskrétní aplikovaná matematika, 155 (10): 1244–1253, doi:10.1016 / j.dam.2006.11.011, PAN  2332317.
• Connelly, Robert (1980), „Tuhost určitých kabelových rámů a tuhost druhého řádu libovolně trojúhelníkových konvexních povrchů“, Pokroky v matematice, 37 (3): 272–299, doi:10.1016/0001-8708(80)90037-7, PAN  0591730.
• Crapo, Henry (1979), "Strukturální tuhost", Strukturální topologie (1): 26–45, 73, PAN  0621627.
• Maxwell, J. C. (1864), „Na vzájemných obrázcích a diagramech sil“, Filozofický časopis, 4. série, 27: 250–261.
• Rybnikov, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005), „Kritéria pro rovnováhu v grafech abelianového zisku, s aplikacemi po dílčí lineární geometrii“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 34 (2): 251–268, arXiv:matematika / 0210052, doi:10.1007 / s00454-005-1170-6, PAN  2155721.
• Whiteley, Walter (1988), „Sjednocení matroidů a tuhost rámců“, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 1 (2): 237–255, doi:10.1137/0401025, PAN  0941354