Steinmetz pevný - Steinmetz solid

Steinmetz solid (průnik dvou válců)

v geometrie, a Steinmetz pevný je pevné těleso získané jako průsečík dva nebo tři válce se stejným poloměrem v pravých úhlech. Každá z křivek průsečíku dvou válců je elipsa.

Průsečík dvou válců se nazývá a dvouválcový. Topologicky je ekvivalentní čtverci hosohedron. Průsečík tří válců se nazývá a tříválcový. Rozdělený dvouválcový motor se nazývá a klenba,^[1] a a klenba kláštera v architektuře má tento tvar.

Steinmetzovy pevné látky jsou pojmenovány po matematikovi Charles Proteus Steinmetz,^[2] který vyřešil problém stanovení objemu křižovatky. Stejný problém však dříve vyřešil uživatel Archimedes ve starořeckém světě,^[3][4] Zu Chongzhi ve starověké Číně,^[5] a Piero della Francesca v rané italské renesanci.^[3]

Animované zobrazení dvouválce

Bicylinder

Generace dvouválce

Výpočet objemu dvouválce

Dvouválcový generovaný dvěma válci s poloměrem ${displaystyle r}$ má

objem

${displaystyle V = {frac {16} {3}} r ^ {3}}$

a

plocha povrchu

${displaystyle A = 16r ^ {2}}$.^[1][6]

Horní polovina dvouválce je čtvercový případ a domický trezor, kopulovité těleso založené na jakémkoli konvexním polygonu, jehož průřezy jsou podobnými kopiemi polygonu, a analogické vzorce pro výpočet objemu a povrchové plochy klenby jako racionální násobek objemu a povrchové plochy jejího uzavření hranol držet obecněji.^[7]

Důkaz objemového vzorce

Pro odvození objemového vzorce je vhodné použít společnou myšlenku pro výpočet objem koule: sbírání tenkých válcových plátků. V tomto případě jsou tenké plátky čtvercové kvádry (viz schéma). Tohle vede k

${displaystyle V = int _ {- r} ^ {r} (2x) ^ {2} mathrm {d} z = 4cdot int _ {- r} ^ {r} x ^ {2} mathrm {d} z = 4cdot int _ {- r} ^ {r} (r ^ {2} -z ^ {2}) mathrm {d} z = {frac {16} {3}} r ^ {3}}$.

to je dobře známé že vztahy objemů pravého kruhového kužele, jedné poloviny koule a pravého kruhového válce se stejnými poloměry a výškami jsou 1: 2: 3. Pro jednu polovinu dvouválce platí podobné tvrzení:

• Vztahy objemů vepsané čtvercové pyramidy (${displaystyle a = 2r, h = r, V = {frac {4} {3}} r ^ {3}}$), poloviční válec (${displaystyle V = {frac {8} {3}} r ^ {3}}$) a okolní hranatý kvádr (${displaystyle a = 2r, h = r, V = 4r ^ {3}}$) jsou 1: 2: 3.

Používání počtu proměnných:

Zvažte rovnice válců:

${displaystyle x ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}}$

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$

Objem bude dán:

${displaystyle V = iiint _ {V} mathrm {d} zmathrm {d} ymathrm {d} x}$

S limity integrace:

${displaystyle - {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} leqslant zleqslant {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$

${displaystyle - {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} leqslant yleqslant {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}$

${displaystyle -rleqslant xleqslant r}$

Dosazením máme:

${displaystyle V = int _ {- r} ^ {r} int _ {- {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2} }} int _ {- {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}} ^ {sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} mathrm {d} zmathrm {d} ymathrm { d} x = 8r ^ {3} - {frac {8r ^ {3}} {3}} = {frac {16r ^ {3}} {3}}}$

Důkaz plošného vzorce

Povrch se skládá ze dvou červených a dvou modrých válcových banglů. Jeden červený bangle je rozříznut na polovinu rovinou y-z a vyvinut do roviny tak, že půlkruh (průsečík s rovinou y-z) je rozvinut na kladnou ${displaystyle xi}$-osa a vývoj bangle je ohraničen nahoru sinusovým obloukem ${displaystyle eta = rsin left ({frac {xi} {r}} ight), 0leq xi leq pi r}$. Proto je oblast tohoto vývoje

klenba kláštera

${displaystyle B = int _ {0} ^ {pi r} rsin left ({frac {xi} {r}} ight) mathrm {d} xi = 2r ^ {2}}$

a celková plocha je:

${displaystyle A = 8cdot B = 16r ^ {2}}$.

Alternativní důkaz objemového vzorce

Odvození objemu dvouválce (bílé) lze provést zabalením do kostky (červené). Rovina (rovnoběžná s osami válců) protínající dvouválce tvoří čtverec a jeho průsečík s krychlí je větší čtverec. Rozdíl mezi oblastmi dvou čtverců je stejný jako 4 malé čtverce (modré). Jak se letadlo pohybuje pevnými látkami, tyto modré čtverce popisují čtvercové pyramidy s rovnoramennými plochami v rozích krychle; pyramidy mají své vrcholy ve středech čtyř hran krychle. Pohyb rovinou celým dvojválcem popisuje celkem 8 pyramid.

• 

  Metoda Zu Chongzhi (obdoba Cavalieriho princip ) pro výpočet objemu koule zahrnuje výpočet objemu dvouválce.

• 

  Vztah oblasti sekce dvouválce s sekci krychle

Objem krychle (červená) minus objem osmi pyramid (modrá) je objemem dvouválce (bílá). The objem 8 pyramid je: ${displaystyle extstyle 8 imes {frac {1} {3}} r ^ {2} imes r = {frac {8} {3}} r ^ {3}}$, a pak můžeme vypočítat, že objem dvouválce je ${displaystyle extstyle (2r) ^ {3} - {frac {8} {3}} r ^ {3} = {frac {16} {3}} r ^ {3}}$

Tříválcový

Vytvoření povrchu tříválce: Nejprve se vyříznou dva válce (červený, modrý). Takto vytvořený dvouválcový válec je řezán třetím (zeleným) válcem.

Průsečík tří válců s kolmo protínajícími se osami vytváří povrch tělesa s vrcholy, kde se setkávají 3 hrany a vrcholy, kde se setkávají 4 hrany. Množinu vrcholů lze považovat za hrany a kosočtverečný dvanáctistěn. Klíčem ke stanovení objemu a povrchové plochy je pozorování, že tříválcový válec může být převzorkován krychlí s vrcholy, kde se setkávají 3 hrany (s. Diagram) a 6 zakřivenými pyramidami (trojúhelníky jsou součástí povrchů válců). Objem a povrch zakřivených trojúhelníků lze určit podobnými úvahami, jako je tomu u výše uvedeného dvouválce.^[1][6]

Objem tříválce je

${displaystyle V = 8 (2- {sqrt {2}}) r ^ {3}}$

a povrchová plocha je

${displaystyle A = 24 (2- {sqrt {2}}) r ^ {2}.}$

Více válců

Se čtyřmi válci, s osami spojujícími vrcholy a čtyřstěn k odpovídajícím bodům na druhé straně tělesa je objem^[1][6]

${displaystyle V_ {4} = 12 (2 {sqrt {2}} - {sqrt {6}}) r ^ {3},}$

Se šesti válci, s osami rovnoběžnými s úhlopříčkami tváří a krychle, objem je:^[1][6]

${displaystyle V_ {6} = {frac {16} {3}} (3 + 2 {sqrt {3}} - 4 {sqrt {2}}) r ^ {3},}$

Viz také

• Ungula

Reference

externí odkazy

• 3D model Steinmetz solidní ve 3D Galerii Google