Spektrální invarianty - Spectral invariants

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Spektrální invarianty"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (prosinec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (prosinec 2013)

v symplektická geometrie, spektrální invarianty jsou invarianty definované pro skupinu Hamiltonianů difeomorfismy a symplektické potrubí, který je uzavřen v souvislosti s Teorie Floer a Hoferova geometrie.

Arnoldova domněnka a Hamiltonova Floerova homologie

Pokud (M, ω) je symplektický variet, poté hladké vektorové pole Y na M je Hamiltonovské vektorové pole, pokud je kontrakce ω(Y, ·) Je přesná 1 forma (tj. Diferenciál Hamiltonovské funkce H). Hamiltonovský difeomorfismus symplektického potrubí (M, ω) je difeomorfismus Φ M což je integrál hladké dráhy hamiltonovských vektorových polí Y_t. Vladimír Arnold domníval se, že počet pevných bodů obecného Hamiltonovského difeomorfismu kompaktního symplektického potrubí (M, ω) by měl být omezen zdola nějakou topologickou konstantou M, což je analogické s Morseovou nerovností. Tato takzvaná Arnoldova domněnka vyvolala vynález Hamiltonovské Floerovy homologie Andreas Floer v 80. letech.

Floerova definice přijata Witten Pohled na Morseovu teorii. Zvažoval prostory stahovatelných smyček M a definoval funkční funkci A_H spojené s rodinou Hamiltonových funkcí, takže pevné body Hamiltonovského difeomorfismu odpovídají kritickým bodům akčního funkčního. Konstruováním řetězového komplexu podobného komplexu Morse – Smale – Witten v Morseově teorii se Floerovi podařilo definovat homologickou skupinu, kterou také ukázal jako izomorfní vůči obyčejnému homologické skupiny potrubíM.

Izomorfismus mezi Floerovou homologní skupinou HF (M) a běžné homologické skupiny H(M) je kanonický. Proto pro každou „dobrou“ hamiltonovskou cestu H_t, třída homologie α z M mohou být reprezentovány cyklem v komplexu Floerova řetězce, formálně lineární kombinací

${ displaystyle alpha _ {H} = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots}$

kde A_i jsou koeficienty v nějakém kruhu a X_i jsou pevné body odpovídajícího hamiltonovského difeomorfismu. Formálně lze spektrální invarianty definovat hodnotou min-max

${ displaystyle c_ {H} ( alpha) = min max {A_ {H} (x_ {i}) : a_ {i} neq 0 }.}$

Zde je maximum převzato všemi hodnotami akční funkce A._H na pevných bodech se objevil v lineární kombinaci α_H, a minimum je převzato za všechny Floerovy cykly, které představují třídu α.