Somers D - Somers D - Wikipedia

Ve statistikách Somers ' D, někdy nesprávně označované jako Somerova D, je měřítkem pořadové sdružení mezi dvěma případně závislými náhodnými proměnnými $X$ a $Y$ . Somers ' D bere hodnoty mezi ${ displaystyle -1}$ když všechny páry proměnných nesouhlasí a ${ displaystyle 1}$ když všechny páry proměnných souhlasí. Somers ' D je pojmenována po Robertu H. Somersovi, který ji navrhl v roce 1962.^[1]

Somers ' D hraje ústřední roli ve statistikách hodnosti a je parametrem mnoha neparametrických metod.^[2] Používá se také jako měřítko kvality binární volba nebo ordinální regrese (např., logistické regrese ) a kreditní bodování modely.

Somers ' D pro vzorek

Říkáme, že dva páry ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ a ${ displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$ jsou shodný pokud souhlasí řady obou prvků, nebo ${ displaystyle x_ {i}> x_ {j}}$ a ${ displaystyle y_ {i}> y_ {j}}$ nebo když ${ displaystyle x_ {i}$ a ${ displaystyle y_ {i}$ . Říkáme, že dva páry ${ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ a ${ displaystyle (x_ {j}, y_ {j})}$ jsou nesouhlasné, pokud řady obou prvků nesouhlasí, nebo pokud ${ displaystyle x_ {i}> x_ {j}}$ a ${ displaystyle y_ {i}$ nebo když ${ displaystyle x_ {i}$ a ${ displaystyle y_ {i}> y_ {j}}$ . Li ${ displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ nebo ${ displaystyle y_ {i} = y_ {j}}$ , pár není ani v souladu, ani v rozporu.

Nechat ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), ldots, (x_ {n}, y_ {n})}$ být množinou pozorování dvou případně závislých náhodných vektorů $X$ a $Y$ . Definovat Kendall tau rank korelační koeficient ${ displaystyle tau}$ tak jako

{ displaystyle tau = { frac {N_ {C} -N_ {D}} {n (n-1) / 2}},}

kde ${ displaystyle N_ {C}}$ je počet shodných párů a ${ displaystyle N_ {D}}$ je počet nesouhlasných párů. Somers ' D z $Y$ s ohledem na $X$ je definován jako ${ displaystyle D_ {YX} = tau (X, Y) / tau (X, X)}$ .^[2] Všimněte si, že Kendallův tau je symetrický $X$ a $Y$ vzhledem k tomu, že Somers D je asymetrický v $X$ a $Y$ .

Tak jako ${ displaystyle tau (X, X)}$ kvantifikuje počet párů s nerovným $X$ hodnoty, Somers ' D je rozdíl mezi počtem shodných a nesouhlasných párů vydělený počtem párů s $X$ hodnoty v páru jsou nerovné.

Somers ' D k distribuci

Nechť dvě nezávislé dvojí proměnné náhodné proměnné ${ displaystyle (X_ {1}, Y_ {1})}$ a ${ displaystyle (X_ {2}, Y_ {2})}$ mají stejné rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle operatorname {P} _ {XY}}$ . Somers znovu D, která měří pořadové sdružení náhodných proměnných $X$ a $Y$ v ${ displaystyle operatorname {P} _ {XY}}$ , lze definovat pomocí Kendall je tau

{ displaystyle { begin {aligned} tau (X, Y) & = operatorname {E} { Bigl (} operatorname {sgn} (X_ {1} -X_ {2}) operatorname {sgn} ( Y_ {1} -Y_ {2}) { Bigr)} & = operatorname {P} { Bigl (} operatorname {sgn} (X_ {1} -X_ {2}) operatorname {sgn} (Y_ {1} -Y_ {2}) = 1 { Bigr)} - operatorname {P} { Bigl (} operatorname {sgn} (X_ {1} -X_ {2}) operatorname {sgn} (Y_ {1} -Y_ {2}) = - 1 { Bigr)}, end {zarovnáno}}}

nebo rozdíl mezi pravděpodobností shody a nesouladu. Somers ' D z $Y$ s ohledem na $X$ je definován jako ${ displaystyle D_ {YX} = tau (X, Y) / tau (X, X)}$ . Tím pádem, ${ displaystyle D_ {YX}}$ je rozdíl mezi dvěma odpovídajícími pravděpodobnostmi podmíněný $X$ hodnoty se nerovnají $X$ má spojité rozdělení pravděpodobnosti, pak ${ displaystyle tau (X, X) = 1}$ a Kendallova tau a Somersova D shodovat se. Somers ' D normalizuje Kendallovo tau pro možné hromadné body proměnné $X$ .

Li $X$ a $Y$ jsou binární s hodnotami 0 a 1, pak Somersova D je rozdíl mezi dvěma pravděpodobnostmi:

{ displaystyle D_ {YX} = operatorname {P} (Y = 1 mid X = 1) - operatorname {P} (Y = 1 mid X = 0).}

Somers ' D pro binárně závislé proměnné

V praxi Somers ' D se nejčastěji používá, když závislá proměnná Y je binární proměnná,^[2] tj. pro binární klasifikace nebo predikce binárních výsledků včetně binární výběrové modely v ekonometrii. Metody montáže takových modelů zahrnují logistické a probitová regrese.

Ke kvantifikaci kvality těchto modelů lze použít několik statistik: oblast pod provozní charakteristika přijímače (ROC) křivka, Goodman a Kruskal gama, Kendall's tau (Tau-a), Somers ' Datd. Somers “ D je pravděpodobně nejpoužívanější z dostupných statistik řadových asociací.^[3] Totožné s Giniho koeficient, Somers ' D souvisí s plocha pod křivkou provozních charakteristik přijímače (AUC),^[2]

{ displaystyle mathrm {AUC} = { frac {D_ {XY} +1} {2}}}

.

V případě, že nezávislá (predikční) proměnná $X$ je oddělený a závislá (výsledná) proměnná $Y$ je binární, Somersova D rovná se

{ displaystyle D_ {XY} = { frac {N_ {C} -N_ {D}} {N_ {C} + N_ {D} + N_ {T}}},}

kde ${ displaystyle N_ {T}}$ je počet ani shodných, ani nesouhlasných párů, které jsou vázány na proměnnou $X$ a ne na proměnnou $Y$ .

Příklad

Předpokládejme, že nezávislá (predikční) proměnná $X$ bere tři hodnoty, 0.25, 0.5nebo 0.75a závislá (výsledná) proměnná $Y$ bere dvě hodnoty, 0 nebo 1. Níže uvedená tabulka obsahuje pozorované kombinace $X$ a $Y$ :

Četnosti
$Y$ , $X$ páry
$X$ $Y$	0.25	0.5	0.75
0	3	5	2
1	1	7	6

Počet shodných párů se rovná

{ displaystyle N_ {C} = 3 krát 7 + 3 krát 6 + 5 krát 6 = 69.}

Počet nesouhlasných párů se rovná

{ displaystyle N_ {D} = 1 krát 5 + 1 krát 2 + 7 krát 2 = 21.}

Počet svázaných párů se rovná celkovému počtu párů minus shodné a nesouhlasné páry

{ displaystyle N_ {T} = (3 + 5 + 2) krát (1 + 7 + 6) -69-21 = 50}

Takže Somers D rovná se

{ displaystyle D_ {XY} = { frac {69-21} {69 + 21 + 50}} přibližně 0,34.}

Reference

^ Somers, R. H. (1962). Msgstr "Nová asymetrická míra asociace pro řadové proměnné". Americký sociologický přehled. 27 (6). doi:10.2307/2090408. JSTOR 2090408.
^ ^A ^b ^C ^d Newson, Roger (2002). „Parametry za„ neparametrickými “statistikami: Kendall's tau, Somers ' D a střední rozdíly “. Stata Journal. 2 (1): 45–64.
^ O'Connell, A. A. (2006). Modely logistické regrese pro proměnné řadové odezvy. Publikace SAGE.

[1] Somers, R. H. (1962). Msgstr "Nová asymetrická míra asociace pro řadové proměnné". Americký sociologický přehled. 27 (6). doi:10.2307/2090408. JSTOR 2090408.

[Newson-2] A ^b ^C ^d Newson, Roger (2002). „Parametry za„ neparametrickými “statistikami: Kendall's tau, Somers ' D a střední rozdíly “. Stata Journal. 2 (1): 45–64.

[3] O'Connell, A. A. (2006). Modely logistické regrese pro proměnné řadové odezvy. Publikace SAGE.

[1]

[2]

[3]