Hladká projektivní rovina - Smooth projective plane - Wikipedia

v geometrie, hladké projektivní roviny jsou speciální projektivní roviny. Nejvýznamnějším příkladem hladké projektivní roviny je skutečná projektivní rovina ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ . Jeho geometrické operace spojování dvou odlišných bodů úsečkou a protínání dvou úseček v bodě jsou nejen spojité, ale rovnoměrné hladký (nekonečně diferencovatelné ${ displaystyle = C ^ { infty}}$ ). Podobně i klasická letadla nad komplexní čísla, čtveřice a octonions jsou hladká letadla. Nejsou to však pouze taková letadla.

Definice a základní vlastnosti

Hladká projektivní rovina ${ displaystyle { mathcal {P}} = (P, { mathfrak {L}})}$ se skládá z bodového prostoru ${ displaystyle P}$ a řádkový prostor ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ které jsou hladké rozdělovače a kde jsou jak geometrické operace spojování, tak protínání hladké.

Geometrické operace hladkých rovin jsou spojité; tedy každá hladká rovina je a kompaktní topologická rovina.^[1] Hladké roviny existují pouze s bodovými prostory dimenze 2^m kde ${ displaystyle 1 leq m leq 4}$ , protože to platí pro kompaktní spojené projektivní topologické roviny.^[2]^[3] Níže budou tyto čtyři případy řešeny samostatně.

Teorém. Bodové potrubí hladké projektivní roviny je homeomorfní ke svému klasickému protějšku, stejně jako liniové potrubí.^[4]

Automorfismy

Automorfismy hrají zásadní roli při studiu hladkých letadel. Bijekce bodové množiny projektivní roviny se nazývá a kolineace, pokud mapuje čáry na čáry. Kontinuální kolinece kompaktní projektivní roviny ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ tvoří skupinu ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Tato skupina je brána s topologií jednotná konvergence. My máme:^[5]

Teorém. Li ${ displaystyle { mathcal {P}} = (P, { mathfrak {L}})}$ je hladká rovina, pak každá spojitá kolinece ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je hladký; jinými slovy, skupina automorfismů hladké roviny ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ se shoduje s ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Navíc, ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ je plynulá skupina transformace Lie ${ displaystyle P}$ a ze dne ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ .

Skupiny automorfismu čtyř klasických rovin jsou jednoduché Lieovy skupiny o rozměrech 8, 16, 35 nebo 78. Všechna ostatní hladká letadla mají mnohem menší skupiny. Viz. níže.

Překladové roviny

Projektivní rovina se nazývá a překladová rovina pokud má její skupina automorphism podskupinu, která opravuje každý bod na nějakém řádku ${ displaystyle W}$ a činy ostře přechodně na množině bodů ne na ${ displaystyle W}$ .

Teorém. Každá plynulá projektivní překladová rovina ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je izomorfní s jednou ze čtyř klasických rovin.^[6]

To ukazuje, že existuje mnoho kompaktních spojených topologických projektivních rovin, které nejsou hladké. Na druhé straně následující stavební výnosy skutečné analytické nedesarguesiánská letadla dimenze 2, 4 a 8 s kompaktní skupinou automorfismů dimenze 1, 4 a 13:^[7] představují body a čáry obvyklým způsobem pomocí homogenní souřadnice přes reálná nebo komplexní čísla nebo čtveřice řekněme vektory délky ${ displaystyle 1}$ . Poté dopad bodu ${ displaystyle (x, y, z)}$ a čára ${ displaystyle (a, b, c)}$ je definováno ${ displaystyle ax + by + cz = t | c | ^ {2} | z | ^ {2} cz}$ , kde ${ displaystyle t}$ je pevný skutečný parametr takový, že ${ displaystyle | t | <1/9}$ . Tato letadla jsou sebe-duální.

2-rozměrné roviny

Kompaktní 2-dimenzionální projektivní roviny lze popsat následujícím způsobem: bodový prostor je kompaktní povrch ${ displaystyle S}$ , každý řádek je a Jordanova křivka v ${ displaystyle S}$ (uzavřená podmnožina homeomorfní s kružnicí) a jakékoli dva odlišné body jsou spojeny jedinečnou přímkou. Pak ${ displaystyle S}$ je homeomorfní s bodovým prostorem skutečné roviny ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ , protínají se dvě jedinečné čáry v jedinečném bodě a geometrické operace jsou spojité (platí Salzmann a kol. 1995, §31 k doplnění řádku). Známá rodina příkladů byla dána Moulton v roce 1902.^[8]^[9] Tato letadla se vyznačují skutečností, že mají 4-dimenzionální skupinu automorfismu. Nejsou izomorfní s hladkou rovinou.^[10] Obecněji řečeno, všechny neklasické kompaktní 2-dimenzionální roviny ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ takhle ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 3}$ jsou výslovně známy; nic z toho není hladké:

Teorém. Li ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je hladká 2-dimenzionální rovina a pokud ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 3}$ , pak ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je klasické skutečné letadlo ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ .^[11]

4-rozměrné roviny

Všechna kompaktní letadla ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ s 4-dimenzionálním bodovým prostorem a ${ displaystyle operatorname {Aut} { mathcal {P}} geq 7}$ byly klasifikovány.^[12] Až do duality jsou to buď překladové roviny, nebo jsou izomorfní s jedinečnou takzvanou rovinou posunu.^[13] Podle Bödi (1996, Kap. 10), tato rovina řazení není hladká. Výsledek na překladových rovinách tedy znamená:

Teorém. Hladká 4-dimenzionální rovina je izomorfní s klasickou komplexní rovinou, nebo ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} leq 6}$ .^[14]

8-rozměrné roviny

Kompaktní 8-dimenzionální topologické letadla ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ byly diskutovány v Salzmann a kol. (1995, Kapitola 8) a nověji v Salzmann (2014). Dát ${ displaystyle Sigma = operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ . Buď ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je klasická čtvercová rovina nebo ${ displaystyle dim Sigma leq 18}$ . Li ${ displaystyle dim Sigma geq 17}$ , pak ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je překladová rovina nebo duální překladová rovina nebo Hughesova rovina.^[15] Ten lze charakterizovat následovně: ${ displaystyle Sigma}$ opouští nějaký klasický složitý subplane ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ neměnný a indukuje ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ připojená součást její plné skupiny automorfismu.^[16]^[17] Hughesovy roviny nejsou hladké.^[18]^[19] Tím se získá výsledek podobný případu 4-dimenzionálních rovin:

Teorém. Li ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je tedy hladká 8rozměrná rovina ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je klasická čtvercová rovina nebo ${ displaystyle dim Sigma leq 16}$ .

16-rozměrné roviny

Nechat ${ displaystyle Sigma}$ označit skupinu automorfismu kompaktní 16-dimenzionální topologické projektivní roviny ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ . Buď ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je hladká klasická oktonionová rovina nebo ${ displaystyle dim Sigma leq 40}$ . Li ${ displaystyle dim Sigma = 40}$ , pak ${ displaystyle Sigma}$ opravuje linku ${ displaystyle W}$ a bod ${ displaystyle v ve W}$ a afinní letadlo ${ displaystyle { mathcal {P}} smallsetminus W}$ a jeho duální jsou překladové roviny.^[20] Li ${ displaystyle dim Sigma = 39}$ , pak ${ displaystyle Sigma}$ také opravuje incidentový pár bod-čára, ale ani jeden ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ ani ${ displaystyle Sigma}$ jsou výslovně známy. Žádná z těchto rovin však nemůže být hladká:^[21]^[22]^[23]

Teorém. Li ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je tedy 16rozměrná hladká projektivní rovina ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je klasická osmičková rovina nebo ${ displaystyle dim Sigma leq 38}$ .

Hlavní věta

Kombinace posledních čtyř výsledků dává následující větu:

Li ${ displaystyle c_ {m}}$ je největší hodnota ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je neklasický kompaktní 2^m-dimenzionální topologické projektivní rovina ${ displaystyle dim operatorname {Aut} { mathcal {P}} leq c_ {m} -2}$ kdykoli ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ je dokonce hladký.

Složité analytické roviny

Podmínka, že geometrické operace projektivní roviny jsou složité analytické, je velmi omezující. Ve skutečnosti je uspokojen pouze v klasické komplexní rovině.^[24]^[25]

Teorém. Každá komplexní analytická projektivní rovina je isomorfní jako analytická rovina ke komplexní rovině se svou standardní analytickou strukturou.

Poznámky

^ Salzmann a kol. 1995, 42.4
^ Löwen, R. (1983), „Topologie a dimenze stabilních rovin: o domněnce o H. Freudenthalovi“, J. Reine Angew. Matematika., 343: 108–122
^ Salzmann a kol. 1995, 54.11
^ Kramer, L. (1994), „Topologie hladkých projektivních rovin“, Oblouk. Matematika., 63: 85–91, doi:10.1007 / bf01196303, S2CID 15480568
^ Bödi, R. (1998), "Souvislosti hladkých stabilních rovin", Matematika fóra., 10 (6): 751–773, doi:10.1515 / form.10.6.751, S2CID 54504153
^ Otte, J. (1995), „Hladké projektivní překladové roviny“, Geom. Dedicata, 58 (2): 203–212, doi:10.1007 / bf01265639, S2CID 120238728
^ Immervoll, S. (2003), „Skutečné analytické projektivní roviny s velkými skupinami automorfismu“, Adv. Geom., 3 (2): 163–176, doi:10.1515 / advg.2003.011
^ Moulton, F. R. (1902), „Jednoduchá desarguesiánská rovinná geometrie“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 3 (2): 192–195, doi:10.1090 / s0002-9947-1902-1500595-3
^ Salzmann a kol. 1995, §34
^ Betten, D. (1971), „2-dimensionale differenzierbare projektive Ebenen“, Oblouk. Matematika., 22: 304–309, doi:10.1007 / bf01222580, S2CID 119885473
^ Bödi 1996, (9.1)
^ Salzmann a kol. 1995, 74.27
^ Salzmann a kol. 1995, §74
^ Bödi 1996, (10.11)
^ Salzmann 2014, 1.10
^ Salzmann a kol. 1995, §86
^ Salzmann, H. (2003), „Baerovy subplanes“, Illinois J. Math., 47 (1–2): 485–513, doi:10.1215 / ijm / 1258488168 3.19
^ Bödi, R. (1999), „Hladká Hughesova letadla jsou klasická“, Oblouk. Matematika., 73: 73–80, doi:10,1007 / s000130050022, hdl:11475/3229, S2CID 120222293
^ Salzmann 2014, 9.17
^ Salzmann a kol. 1995, 87.7
^ Bödi 1996, Kap. 12
^ Bödi, R. (1998), „16rozměrné hladké projektivní roviny s velkými kolineačními skupinami“, Geom. Dedicata, 72 (3): 283–298, doi:10.1023 / A: 1005020223604, S2CID 56094550
^ Salzmann 2014, 9.18 pro náčrt důkazu
^ Breitsprecher, S. (1967), „Einzigkeit der reellen und der komplexen projektiven Ebene“, Matematika. Z., 99 (5): 429–432, doi:10.1007 / bf01111021, S2CID 120984088
^ Salzmann a kol. 1995, 75.1

Reference

Bödi, R. (1996), "Hladké stabilní a projektivní roviny", Práce, Tübingen
Salzmann, H .; Betten, D .; Grundhöfer, T .; Hähl, H .; Löwen, R .; Stroppel, M. (1995), Kompaktní projektivní roviny, W. de Gruyter
Salzmann, H. (2014), Kompaktní letadla, většinou 8-dimenzionální. Retrospektiva, arXiv:1402.0304, Bibcode:2014arXiv1402.0304S

[1] Salzmann a kol. 1995, 42.4

[2] Löwen, R. (1983), „Topologie a dimenze stabilních rovin: o domněnce o H. Freudenthalovi“, J. Reine Angew. Matematika., 343: 108–122

[3] Salzmann a kol. 1995, 54.11

[4] Kramer, L. (1994), „Topologie hladkých projektivních rovin“, Oblouk. Matematika., 63: 85–91, doi:10.1007 / bf01196303, S2CID 15480568

[5] Bödi, R. (1998), "Souvislosti hladkých stabilních rovin", Matematika fóra., 10 (6): 751–773, doi:10.1515 / form.10.6.751, S2CID 54504153

[6] Otte, J. (1995), „Hladké projektivní překladové roviny“, Geom. Dedicata, 58 (2): 203–212, doi:10.1007 / bf01265639, S2CID 120238728

[7] Immervoll, S. (2003), „Skutečné analytické projektivní roviny s velkými skupinami automorfismu“, Adv. Geom., 3 (2): 163–176, doi:10.1515 / advg.2003.011

[8] Moulton, F. R. (1902), „Jednoduchá desarguesiánská rovinná geometrie“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 3 (2): 192–195, doi:10.1090 / s0002-9947-1902-1500595-3

[9] Salzmann a kol. 1995, §34

[10] Betten, D. (1971), „2-dimensionale differenzierbare projektive Ebenen“, Oblouk. Matematika., 22: 304–309, doi:10.1007 / bf01222580, S2CID 119885473

[11] Bödi 1996, (9.1)

[12] Salzmann a kol. 1995, 74.27

[13] Salzmann a kol. 1995, §74

[14] Bödi 1996, (10.11)

[15] Salzmann 2014, 1.10

[16] Salzmann a kol. 1995, §86

[17] Salzmann, H. (2003), „Baerovy subplanes“, Illinois J. Math., 47 (1–2): 485–513, doi:10.1215 / ijm / 1258488168 3.19

[18] Bödi, R. (1999), „Hladká Hughesova letadla jsou klasická“, Oblouk. Matematika., 73: 73–80, doi:10,1007 / s000130050022, hdl:11475/3229, S2CID 120222293

[19] Salzmann 2014, 9.17

[20] Salzmann a kol. 1995, 87.7

[21] Bödi 1996, Kap. 12

[22] Bödi, R. (1998), „16rozměrné hladké projektivní roviny s velkými kolineačními skupinami“, Geom. Dedicata, 72 (3): 283–298, doi:10.1023 / A: 1005020223604, S2CID 56094550

[23] Salzmann 2014, 9.18 pro náčrt důkazu

[24] Breitsprecher, S. (1967), „Einzigkeit der reellen und der komplexen projektiven Ebene“, Matematika. Z., 99 (5): 429–432, doi:10.1007 / bf01111021, S2CID 120984088

[25] Salzmann a kol. 1995, 75.1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]