Funkce Sinhc - Sinhc function

V matematice je Funkce Sinhc objevuje se často v příspěvcích o optickém rozptylu,^[1] Heisenberg Časoprostor^[2] a hyperbolická geometrie.^[3] Je definován jako^[4]^[5]

{ displaystyle operatorname {Sinhc} (z) = { frac { sinh (z)} {z}}}

Jedná se o řešení následující diferenciální rovnice:

{ displaystyle w (z) z-2 , { frac {d} {dz}} w (z) -z { frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} w (z) = 0}

Sinhc 2D graf

Sinhc '(z) 2D graf

Sinhc integrální 2D graf

Imaginární část ve složité rovině

${ displaystyle operatorname {Im} left ({ frac { sinh (x + iy)} {x + iy}} right)}$

Skutečná část ve složité rovině

${ displaystyle operatorname {Re} vlevo ({ frac { sinh (x + iy)} {x + iy}} vpravo)}$

absolutní velikost

${ displaystyle left | { frac { sinh (x + iy)} {x + iy}} vpravo |}$

Derivát prvního řádu

${ displaystyle { frac { cosh (z)} {z}} - { frac { sinh (z)} {z ^ {2}}}}$

Skutečná část derivátu

${ displaystyle - operatorname {Re} left (- { frac {1 - ( sinh (x + iy)) ^ {2}} {x + iy}} + { frac { sinh (x + iy )} {(x + iy) ^ {2}}} vpravo)}$

Imaginární část derivátu

${ displaystyle - operatorname {Im} left (- { frac {1 - ( sinh (x + iy)) ^ {2}} {x + iy}} + { frac { sinh (x + iy )} {(x + iy) ^ {2}}} vpravo)}$

absolutní hodnota derivátu

${ displaystyle left | - { frac {1 - ( sinh (x + iy)) ^ {2}} {x + iy}} + { frac { sinh (x + iy)} {(x + iy) ^ {2}}} vpravo |}$

Pokud jde o další speciální funkce

${ displaystyle operatorname {Sinhc} (z) = { frac {{ rm {KummerM}} (1, , 2, , 2 , z)} {{ rm {e}} ^ {z} }}}$
${ displaystyle operatorname {Sinhc} (z) = { frac { operatorname {HeunB} left (2,0,0,0, { sqrt {2}} { sqrt {z}} right)} {{ rm {e}} ^ {z}}}}$
${ displaystyle operatorname {Sinhc} (z) = 1/2 , { frac {{ rm {WhittakerM}} (0, , 1/2, , 2 , z)} {z}}}$

Rozšíření série

{ displaystyle operatorname {Sinhc} z přibližně left (1 + { frac {1} {3}} z ^ {2} + { frac {2} {15}} z ^ {4} + { frac {17} {315}} z ^ {6} + { frac {62} {2835}} z ^ {8} + { frac {1382} {155925}} z ^ {10} + { frac { 21844} {6081075}} z ^ {12} + { frac {929569} {638512875}} z ^ {14} + O (z ^ {16}) vpravo)}

Aproximace Padé

{ displaystyle operatorname {Sinhc} left (z right) = left (1 + { frac {53272705} {360869676}} , {z} ^ {2} + { frac {38518909} {7217393520}} } , {z} ^ {4} + { frac {269197963} {3940696861920}} , {z} ^ {6} + { frac {4585922449} {15605159573203200}} , {z} ^ {8} right) left (1 - { frac {2290747} {120289892}} , {z} ^ {2} + { frac {1281433} {7217393520}} , {z} ^ {4} - { frac {560401} {562956694560}} , {z} ^ {6} + { frac {1029037} {346781323848960}} , {z} ^ {8} right) ^ {- 1}}

Galerie

Sinhc abs komplexní 3D

Sinhc Im komplexní 3D graf

Sinhc Re komplexní 3D graf

Sinhc '(z) Im komplexní 3D graf

Sinhc '(z) Re komplexní 3D graf

Sinhc '(z) abs komplexní 3D graf

Sinhc abs spiknutí

Sinhc Im plot

Sinhc Re spiknutí

Sinhc '(z) Im spiknutí

Sinhc '(z) abs spiknutí

Sinhc '(z) Re spiknutí

Viz také

Reference

^ PN Den Outer, TM Nieuwenhuizen, A Lagendijk, Umístění objektů v médiích s více rozptyly, JOSA A, sv. 10, číslo 6, str. 1209-1218 (1993)
^ T Körpinar, Nové charakterizace pro minimalizaci energie biharmonických částic v Heisenbergově časoprostoru - International Journal of Theoretical Physics, 2014 - Springer
^ Nilg¨un S¨onmez, trigonometrický důkaz Eulerovy věty v hyperbolické geometrii, International Mathematical Forum, 4, 2009, č. 2 38, 1877 - 1881
^ JHM ten Thije Boonkkamp, J van Dijk, L Liu, Rozšíření celého schématu toku na systémy zákonů ochrany, J Sci Comput (2012) 53: 552–568, DOI 10.1007 / s10915-012-9588-5
^ Weisstein, Eric W. „Funkce Sinhc.“ From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SinhcFunction.html