Simpsonovi vládnou - Simpsons rule - Wikipedia

Simpsonovo pravidlo lze odvodit aproximací celého čísla F (X) (v modré) kvadratickým interpolantem P(X) (v červené).

Animace ukazující, jak Simpsonovo pravidlo aproximuje funkci pomocí paraboly a snížení chyby při zmenšení velikosti kroku

Animace ukazující, jak se Simpsonova aproximace pravidel zlepšuje s více proužky.

v numerická integrace, Simpsonova pravidla je jich několik aproximace pro určité integrály, pojmenoval podle Thomas Simpson (1710–1761).

Nejzákladnější z těchto pravidel, tzv Simpsonovo pravidlo 1/3, nebo prostě Simpsonovo pravidlo, čte

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně { tfrac {ba} {6}} vlevo [f (a) + 4f vlevo ({ tfrac {a + b} {2}} vpravo) + f (b) vpravo].}$

V němčině a některých dalších jazycích je pojmenována po Johannes Kepler kdo jej odvodil v roce 1615 poté, co viděl, že se používá pro sudy na víno Keplersche Fassregel). Přibližná rovnost v pravidle se stane přesnou, pokud F je polynom do kvadratického stupně.

Pokud se použije pravidlo 1/3 n stejné členění integračního rozsahu [a, b], jeden získá složené Simpsonovo pravidlo. Body uvnitř integračního rozsahu mají střídavé váhy 4/3 a 2/3.

Simpsonovo pravidlo 3/8, také zvaný Simpsonovo druhé pravidlo požaduje ještě jedno vyhodnocení funkce uvnitř integračního rozsahu a je přesné, pokud F je polynom do kubického stupně.

Simpsonova pravidla 1/3 a 3/8 jsou dva speciální případy uzavřených Newton – Cotesovy vzorce.

V námořní architektuře a odhadu stability lodi existuje také Simponovo třetí pravidlo, který nemá v obecné numerické analýze zvláštní význam, viz Simpsonova pravidla (stabilita lodi).

Simpsonovo pravidlo 1/3

Odvození

Kvadratická interpolace

Jedna derivace nahradí integrand ${ displaystyle f (x)}$ podle kvadratický polynom (tj. parabola) ${ displaystyle P (x)}$ který má stejné hodnoty jako ${ displaystyle f (x)}$ v koncových bodech ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ a střed ${ displaystyle m = (a + b) / 2}$. Jeden může použít Lagrangeova polynomiální interpolace najít výraz pro tento polynom,

${ displaystyle P (x) = f (a) { tfrac {(xm) (xb)} {(am) (ab)}} + f (m) { tfrac {(xa) (xb)} {( ma) (mb)}} + f (b) { tfrac {(xa) (xm)} {(ba) (bm)}}.}$

Použitím integrace substitucí jeden to může ukázat^[1]

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} P (x) , dx = { tfrac {ba} {6}} left [f (a) + 4f left ({ tfrac {a + b } {2}} vpravo) + f (b) vpravo].}$

Představujeme velikost kroku ${ displaystyle h = (b-a) / 2}$ toto je také obyčejně psáno jako

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} P (x) , dx = { tfrac {h} {3}} left [f (a) + 4f left ({ tfrac {a + b } {2}} vpravo) + f (b) vpravo].}$

Kvůli ${ displaystyle 1/3}$ Faktor Simpsonovo pravidlo se také označuje jako Simpsonovo 1/3 pravidlo (zobecnění viz níže).

Průměrování středního a lichoběžníkového pravidla

Další derivace konstruují Simpsonovo pravidlo ze dvou jednodušších aproximací: pravidlo středu

${ displaystyle M = (b-a) f vlevo ({ tfrac {a + b} {2}} vpravo)}$

a lichoběžníkové pravidlo

${ displaystyle T = { tfrac {1} {2}} (b-a) (f (a) + f (b)).}$

Chyby v těchto aproximacích jsou

${ displaystyle { tfrac {1} {24}} (ba) ^ {3} f '' (a) + O ((ba) ^ {4}) quad { text {and}} quad - { tfrac {1} {12}} (ba) ^ {3} f '' (a) + O ((ba) ^ {4}),}$

respektive kde ${ displaystyle O ((b-a) ^ {4})}$ označuje termín asymptoticky úměrný ${ displaystyle (b-a) ^ {4}}$. Dva ${ displaystyle O ((b-a) ^ {4})}$ podmínky nejsou stejné; vidět Velká O notace Více podrobností. Z výše uvedených vzorců pro chyby středního a lichoběžníkového pravidla vyplývá, že hlavní chybový člen zmizí, pokud vezmeme vážený průměr

${ displaystyle { tfrac {2M + T} {3}}.}$

Tento vážený průměr je přesně Simpsonovým pravidlem.

Při použití jiné aproximace (například lichoběžníkového pravidla s dvojnásobným počtem bodů) je možné vzít vhodný vážený průměr a eliminovat další chybový člen. Tohle je Rombergova metoda.

Neurčené koeficienty

Třetí derivace začíná od ansatz

${ displaystyle { tfrac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně alfa f (a) + beta f vlevo ({ tfrac {a + b} {2}} vpravo) + gamma f (b).}$

Koeficienty α, β a γ lze fixovat požadováním, aby tato aproximace byla přesná pro všechny kvadratické polynomy. Tím se získá Simpsonovo pravidlo.

Chyba

Chyba při přibližování integrálu podle Simpsonova pravidla pro ${ displaystyle n = 2}$ je

${ displaystyle - { tfrac {1} {90}} vlevo ({ tfrac {b-a} {2}} vpravo) ^ {5} f ^ {(4)} ( xi),}$

kde ${ displaystyle xi}$ (dále jen Řecké písmeno xi ) je nějaké číslo mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$.^[2]

Chyba je asymptoticky úměrná ${ displaystyle (b-a) ^ {5}}$. Výše uvedené derivace však naznačují chybu úměrnou ${ displaystyle (b-a) ^ {4}}$. Simpsonovo pravidlo získá zvláštní pořadí, protože body, ve kterých se vyhodnocuje integrand, jsou v intervalu distribuovány symetricky ${ displaystyle [a, b]}$.

Protože chybový člen je úměrný čtvrté derivaci ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle xi}$, to ukazuje, že Simpsonovo pravidlo poskytuje přesné výsledky pro jakýkoli polynom ${ displaystyle f}$ stupně tři nebo méně, protože čtvrtá derivace takového polynomu je ve všech bodech nulová.

Pokud je druhá derivace ${ displaystyle f ''}$ existuje a je konvexní v intervalu ${ displaystyle (a, b)}$:

${ displaystyle (ba) f left ({ tfrac {a + b} {2}} right) + { tfrac {1} {3}} left ({ tfrac {ba} {2}} vpravo) ^ {3} f '' vlevo ({ tfrac {a + b} {2}} vpravo) leq int _ {a} ^ {b} f (x) , dx leq { tfrac {ba} {6}} left [f (a) + 4f left ({ tfrac {a + b} {2}} right) + f (b) right].}$

Složené Simpsonovo pravidlo

Pokud je interval integrace ${ displaystyle [a, b]}$ je v určitém smyslu „malé“, pak platí Simpsonovo pravidlo ${ displaystyle n = 2}$ podintervaly poskytnou adekvátní aproximaci přesného integrálu. Ve skutečnosti to znamená, že integrovaná funkce je v průběhu intervalu relativně plynulá ${ displaystyle [a, b]}$. Pro takovou funkci bude mít dobré výsledky hladký kvadratický interpolant, jaký se používá v Simpsonově pravidle.

Často se však stává, že funkce, kterou se snažíme integrovat, není v daném intervalu plynulá. Obvykle to znamená, že buď je funkce vysoce oscilační, nebo jí v určitých bodech chybí deriváty. V těchto případech může Simpsonovo pravidlo poskytnout velmi špatné výsledky. Jeden běžný způsob řešení tohoto problému je rozbití intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ do ${ displaystyle n> 2}$ malé podintervaly. Simpsonovo pravidlo se poté použije na každý subinterval, přičemž výsledky se sečtou a vytvoří aproximaci integrálu v celém intervalu. Tento druh přístupu se nazývá složené Simpsonovo pravidlo.

Předpokládejme, že interval ${ displaystyle [a, b]}$ je rozdělena na ${ displaystyle n}$ dílčí intervaly, s ${ displaystyle n}$ sudé číslo. Potom je složené Simpsonovo pravidlo dáno

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx & cca { frac {h} {3}} součet _ {j = 1} ^ {n / 2} { bigg [} f (x_ {2j-2}) + 4f (x_ {2j-1}) + f (x_ {2j}) { bigg]} {} & = { frac {h } {3}} { bigg [} f (x_ {0}) + 2 sum _ {j = 1} ^ {n / 2-1} f (x_ {2j}) + 4 sum _ {j = 1} ^ {n / 2} f (x_ {2j-1}) + f (x_ {n}) { bigg]}, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle x_ {j} = a + jh}$ pro ${ displaystyle j = 0,1, ..., n-1, n}$ s ${ displaystyle h = (b-a) / n}$; zejména, ${ displaystyle x_ {0} = a}$ a ${ displaystyle x_ {n} = b}$. Toto složené pravidlo s ${ displaystyle n = 2}$ odpovídá pravidelnému Simpsonovu pravidlu z předchozí části.

Chyba způsobená složeným Simpsonovým pravidlem je

${ displaystyle - { frac {h ^ {4}} {180}} (b-a) f ^ {(4)} ( xi),}$

kde ${ displaystyle xi}$ je nějaké číslo mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle h = (b-a) / n}$ je „délka kroku“.^[3] Chyba je omezena (v absolutní hodnotě) znakem

${ displaystyle { tfrac {h ^ {4}} {180}} (b-a) max _ { xi v [a, b]} | f ^ {(4)} ( xi) |.}$

Tato formulace rozděluje interval ${ displaystyle [a, b]}$ v dílčích intervalech stejné délky. V praxi je často výhodné použít podintervaly různých délek a soustředit úsilí na místa, kde je integrand méně vychovaný. To vede k adaptivní Simpsonova metoda.

Simpsonovo pravidlo 3/8

Simpsonovo pravidlo 3/8, nazývané také Simponovo druhé pravidlo, je další metodou numerické integrace, kterou navrhl Thomas Simpson. Je založen spíše na kubické interpolaci než na kvadratické interpolaci. Simpsonovo pravidlo 3/8 je následující:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně { tfrac {3h} {8}} left [f (a) + 3f left ({ tfrac {2a + b} {3}} vpravo) + 3f vlevo ({ tfrac {a + 2b} {3}} vpravo) + f (b) vpravo] = { tfrac {(ba)} {8}} left [f (a) + 3f left ({ tfrac {2a + b} {3}} right) + 3f left ({ tfrac {a + 2b} {3}} right) + f ( Jasný],}$

kde b − A = 3h. Chyba této metody je:

${ displaystyle - { tfrac {(b-a) ^ {5}} {6480}} f ^ {(4)} ( xi),}$

kde ${ displaystyle xi}$ je nějaké číslo mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$. Pravidlo 3/8 je tedy asi dvakrát tak přesné jako standardní metoda, ale používá ještě jednu hodnotu funkce. Kompozitní pravidlo 3/8 také existuje, podobně jako výše.^[4]

Další zobecnění tohoto konceptu pro interpolaci s polynomy libovolného stupně je Newton – Cotesovy vzorce.

Složené pravidlo Simpsona 3/8

Rozdělení intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ do ${ displaystyle n}$ podintervaly délky ${ displaystyle h = (b-a) / n}$ a zavedení uzlů ${ displaystyle x_ {i} = a + ih}$ my máme

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx & cca { tfrac {3h} {8}} left [f (x_ {0}) + 3f (x_ {1}) + 3f (x_ {2}) + 2f (x_ {3}) + 3f (x_ {4}) + 3f (x_ {5}) + 2f (x_ {6}) + cdots + 3f (x_ {n-2}) + 3f (x_ {n-1}) + f (x_ {n}) right]. & = { frac {3h} {8}} left [f ( x_ {0}) + 3 sum _ {i neq 3k} ^ {n-1} f (x_ {i}) + 2 sum _ {j = 1} ^ {n / 3-1} f (x_ {3j}) + f (x_ {n}) right] qquad { text {For:}} k in mathbb {N} _ {0} end {aligned}}}$

Zatímco zbytek pravidla je zobrazen jako:

${ displaystyle - { frac {h ^ {4}} {80}} (b-a) f ^ {(4)} ( xi),}$^[4]

Můžeme to použít, pouze pokud ${ displaystyle n}$ je násobkem tří.

Alternativní rozšířené Simpsonovo pravidlo

Toto je další formulace složeného Simpsonova pravidla: namísto použití Simpsonova pravidla na disjunktní segmenty integrálu, který má být aproximován, je Simpsonovo pravidlo aplikováno na překrývající se segmenty, čímž se získá:^[5]

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně { tfrac {h} {48}} { bigg [} 17f (x_ {0}) + 59f (x_ {1 }) + 43f (x_ {2}) + 49f (x_ {3}) + 48 suma _ {i = 4} ^ {n-4} f (x_ {i}) + 49f (x_ {n-3} ) + 43f (x_ {n-2}) + 59f (x_ {n-1}) + 17f (x_ {n}) { bigg]}.}$

Výše uvedený vzorec se získá kombinací původního složeného Simpsonova pravidla s pravidlem, které spočívá v použití Simpsonova pravidla 3/8 v extrémních podintervalech a standardního 3bodového pravidla ve zbývajících podintervalech. Výsledek se poté získá z průměru dvou vzorců.

Simpsonova pravidla v případě úzkých vrcholů

V úloze odhadu celé oblasti úzkých špičkových funkcí jsou Simpsonova pravidla mnohem méně účinná než lichoběžníkové pravidlo. Kompozitní Simpsonovo pravidlo 1/3 konkrétně vyžaduje k dosažení stejné přesnosti 1,8krát více bodů^[6] jako lichoběžníkové pravidlo. Pravidlo 3/8 kompozitního Simpsona je ještě méně přesné. Integrál podle Simpsonova pravidla 1/3 lze reprezentovat jako součet 2/3 integrálu lichoběžníkovým pravidlem s krokem h a 1/3 integrálu podle pravoúhlého pravidla s krokem 2h. Není divu, že chyba součtu odpovídá méně přesnému výrazu. Průměrování složených součtů pravidla Simpsona 1/3 se správně posunutými rámečky vytváří následující pravidla:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně { tfrac {h} {24}} { bigg [} -f (x _ {- 1}) + 12f (x_ {0}) + 25f (x_ {1}) + 24 sum _ {i = 2} ^ {n-2} f (x_ {i}) + 25f (x_ {n-1}) + 12f (x_ { n}) - f (x_ {n + 1}) { bigg]}}$

kde jsou využívány dva body mimo integrovaný region a

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx přibližně { tfrac {h} {24}} { bigg [} 9f (x_ {0}) + 28f (x_ {1 }) + 23f (x_ {2}) + 24 sum _ {i = 3} ^ {n-3} f (x_ {i}) + 23f (x_ {n-2}) + 28f (x_ {n- 1}) + 9f (x_ {n}) { bigg]}}$

Tato pravidla jsou velmi podobná alternativnímu rozšířenému Simpsonovu pravidlu Press. Koeficienty v hlavní části integrované oblasti se rovnají jedné, rozdíly jsou pouze na okrajích. K těmto třem pravidlům lze přiřadit Euler-MacLaurin vzorec s prvním odvozeným termínem a pojmenovaným Pravidla integrace Euler-MacLaurin.^[6] Liší se pouze v tom, jak se počítá první derivace na konci oblasti.

Kompozitní Simpsonovo pravidlo pro nepravidelně rozmístěná data

U některých aplikací integrační interval ${ displaystyle I = [a, b]}$ je třeba rozdělit na nerovnoměrné intervaly - možná kvůli nerovnoměrnému vzorkování dat nebo chybějícím nebo poškozeným datovým bodům. Předpokládejme, že rozdělíme interval ${ displaystyle I}$ do sudé číslo ${ displaystyle N}$ podintervalů šířek ${ displaystyle h_ {k}}$. Pak je složené Simpsonovo pravidlo dáno^[7][8]

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , mathrm {d} x = součet _ {i = 0} ^ {N / 2-1} vlevo ( alpha _ {i } f_ {2i + 2} + beta _ {i} f_ {2i + 1} + eta _ {i} f_ {2i} vpravo),}$

kde ${ displaystyle f_ {k} = f vlevo (a + součet _ {i = 0} ^ {k-1} h_ {i} doprava)}$ jsou hodnoty funkcí na ${ displaystyle k}$bod vzorkování na intervalu ${ displaystyle I}$a koeficienty ${ displaystyle alpha _ {i}, , beta _ {i},}$ a ${ displaystyle eta _ {i}}$ jsou dány

${ displaystyle alpha _ {i} = { frac {2h_ {2i + 1} ^ {3} -h_ {2i} ^ {3} + 3h_ {2i} h_ {2i + 1} ^ {2}} { 6h_ {2i + 1} (h_ {2i + 1} + h_ {2i})}}}}$

${ displaystyle beta _ {i} = { frac {h_ {2i + 1} ^ {3} + h_ {2i} ^ {3} + 3h_ {2i + 1} h_ {2i} (h_ {2i + 1 } + h_ {2i})} {6h_ {2i + 1} h_ {2i}}}, { text {a}}}$

${ displaystyle eta _ {i} = { frac {2h_ {2i} ^ {3} -h_ {2i + 1} ^ {3} + 3h_ {2i + 1} h_ {2i} ^ {2}} { 6h_ {2i} (h_ {2i + 1} + h_ {2i})}}}}$

V případě liché číslo ${ displaystyle N}$ podintervalů, výše uvedený vzorec se používá až do druhého předposledního intervalu a poslední interval je zpracován samostatně přidáním následujícího výsledku:

${ displaystyle alpha f_ {N} + beta f_ {N-1} - eta f_ {N-2},}$

kde

${ displaystyle alpha = { frac {2h_ {N-1} ^ {2} + 3h_ {N-1} h_ {N-2}} {6 (h_ {N-2} + h_ {N-1} )}},}$

${ displaystyle beta = { frac {h_ {N-1} ^ {2} + 3h_ {N-1} h_ {N-2}} {6h_ {N-2}}}, , { text { a}}}$

${ displaystyle eta = { frac {h_ {N-1} ^ {3}} {6h_ {N-2} (h_ {N-2} + h_ {N-1})}}}}$

import numpy tak jako npdef simpson_nonuniform(X, F) -> plovák:    """    Simpsonovo pravidlo pro nepravidelně rozmístěná data.        Parametry        ----------        x: seznam nebo np. pole plováků                Vzorkovací body pro hodnoty funkcí        f: seznam nebo np. pole plováků                Funkční hodnoty v místech odběru vzorků        Vrací se        -------        float: aproximace pro integrál    """    N = len(X) - 1    h = np.rozdíl(X)    výsledek = 0.0    pro i v rozsah(1, N, 2):        hph = h[i] + h[i - 1]        výsledek += F[i] * ( h[i]**3 + h[i - 1]**3                           + 3. * h[i] * h[i - 1] * hph )\                     / ( 6 * h[i] * h[i - 1] )        výsledek += F[i - 1] * ( 2. * h[i - 1]**3 - h[i]**3                              + 3. * h[i] * h[i - 1]**2)\                     / ( 6 * h[i - 1] * hph)        výsledek += F[i + 1] * ( 2. * h[i]**3 - h[i - 1]**3                              + 3. * h[i - 1] * h[i]**2)\                     / ( 6 * h[i] * hph )    -li (N + 1) % 2 == 0:        výsledek += F[N] * ( 2 * h[N - 1]**2                          + 3. * h[N - 2] * h[N - 1])\                     / ( 6 * ( h[N - 2] + h[N - 1] ) )        výsledek += F[N - 1] * ( h[N - 1]**2                           + 3*h[N - 1]* h[N - 2] )\                     / ( 6 * h[N - 2] )        výsledek -= F[N - 2] * h[N - 1]**3\                     / ( 6 * h[N - 2] * ( h[N - 2] + h[N - 1] ) )    vrátit se výsledek

Viz také

• Gaussova kvadratura

Poznámky

Reference

• Atkinson, Kendall E. (1989). Úvod do numerické analýzy (2. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-50023-2.
• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (2000). Numerická analýza (7. vydání). Brooks / Cole. ISBN  0-534-38216-9.
• Matthews, John H. (2004). „Simpsonovo pravidlo 3/8 pro numerickou integraci“. Numerická analýza - projekt Numerické metody. Kalifornská státní univerzita, Fullerton. Archivovány od originál dne 4. prosince 2008. Citováno 11. listopadu 2008.
• Press, William H .; Flannery, Brian P .; Vetterling, William T .; Teukolsky, Saul A. (1989). Numerické recepty v Pascalu: Umění vědecké práce na počítači. Cambridge University Press. ISBN  0-521-37516-9.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). Úvod do numerické analýzy. Cambridge University Press. ISBN  0-521-00794-1.
• Kaw, autar; Kalu, Egwu; Nguyen, Duc (2008). "Numerické metody s aplikacemi".
• Weisstein, Eric W. (2010). "Newton-Cotesovy vzorce". MathWorld - webový zdroj Wolframtite. MathWorld. Citováno 2. srpna 2010.

externí odkazy

• „Simpsonův vzorec“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Simpsonovo pravidlo“. MathWorld.
• Aplikace Simpsonova pravidla - výkopové práce (Poznámka: Vzorec popsaný na této stránce je správný, ale ve výpočtu jsou chyby, které by měly poskytnout výsledek 569 m3 a ne 623 m3, jak je uvedeno)
• Simpsonovo 1/3 pravidlo integrace - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple na Numerické metody pro STEM vysokoškoláka
• Podrobný popis implementace do počítače popisuje Dorai Sitaram v Naučte se Systém ve dnech Fixnum, Dodatek C.

Tento článek včlení materiál z Code for Simpson's rule on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.