Chytrý kardinál - Shrewd cardinal

v matematika, a chytrý kardinál je určitý druh velký kardinál číslo zavedené (Rathjen 1995 )., kterým se rozšiřuje definice nepopsatelní kardinálové.

A základní číslovka κ se nazývá λ-chytrý, pokud pro každého tvrzení φ a nastavte A ⊆ Vκ s (Vκ + λ, ∈, A) ⊧ φ existuje α, λ '<κ s (Vα + λ ', ∈, A ∩ Vα) ⊧ φ. Říká se tomu chytrý, pokud je chytrý λ pro každé λ (včetně λ> κ).

Tato definice rozšiřuje pojem nepopsatelnost na transfinitní úrovně. Λ-chytrý kardinál je také μ-chytrý pro všechny pořadové μ <λ. Chytrost byla vyvinuta Michael Rathjen jako součást jeho ordinální analýza z Π12-pochopení. Je to v podstatě nerekurzivní analog k stabilita majetek pro přípustná řadová čísla.

Obecněji se základní číslo κ nazývá λ-Πm-bystrý, pokud pro každý Πm propozice φ a nastavte A ⊆ Vκ s (Vκ + λ, ∈, A) ⊧ φ existuje α, λ '<κ s (Vα + λ ', ∈, A ∩ Vα) ⊧ φ.

Zde se podíváme na vzorce s m-1 střídáním kvantifikátorů, přičemž nejvzdálenější kvantifikátor je univerzální.

Pro konečné n, an n-Πm-bystrý kardinál je to samé jako Πmn- nepopsatelný kardinál.

Pokud κ je a jemný kardinál, pak je sada κ-chytrých kardinálů stacionární v κ. Rathjen neuvádí, jak jsou chytrí kardinálové v porovnání rozvinutí kardinálové, nicméně.

λ-bystrost je vylepšená verze λ-nepopsatelnosti, jak je definována v Drake; tato hlavní vlastnost se liší tím, že odražená spodní struktura musí být (Vα + λ, ∈, A ∩ Vα), což znemožňuje, aby byl kardinál κ nepopsatelný. Ztratila se také vlastnost monotonie: λ-nepopsatelný kardinál nemusí být pro některé pořadové α <λ nepopsatelný.

Reference

  • Drake, F. R. (1974). Teorie množin: Úvod do velkých kardinálů (Studie logiky a základy matematiky; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN  0-444-10535-2.
  • Rathjen, Michael (2006). „Umění obyčejné analýzy“ (PDF).
  • Rathjen, Michael (1995), „Poslední pokroky v řadové analýze: Π12-CA a související systémy ", Bulletin symbolické logiky, 1 (4): 468–485, doi:10.2307/421132, ISSN  1079-8986, PAN  1369172