Witten zeta funkce - Witten zeta function

v matematika, Witten zeta funkce, je funkce spojená s a kořenový systém který kóduje stupně neredukovatelné reprezentace odpovídajících Lež skupina. Tyto funkce zeta představil Don Zagier, který je pojmenoval podle studie Edwarda Wittena o jejich zvláštních hodnotách (mimo jiné) v roce.^[1][2] Upozorňujeme, že funkce Witten zeta se samy o sobě nezobrazují jako explicitní objekty.^[2]

Definice

Li ${ displaystyle G}$ je kompaktní polojediná Lieova skupina, přidružená Wittenova zeta funkce je (meromorfní pokračování) řady

${ displaystyle zeta _ {G} (s) = součet _ { rho} { frac {1} {( dim rho) ^ {s}}},}$

kde součet je nad třídami ekvivalence neredukovatelných reprezentací ${ displaystyle G}$.

V případě, že ${ displaystyle G}$ je spojeno a jednoduše spojeno, korespondence mezi reprezentacemi ${ displaystyle G}$ a jeho Lieovy algebry, spolu s Weylovým dimenzním vzorcem, to naznačuje ${ displaystyle zeta _ {G}}$ lze psát jako

${ displaystyle sum _ {m_ {1}, dots, m_ {r}> 0} prod _ { alpha in Phi ^ {+}} { frac {1} { langle alpha ^ { lor}, m_ {1} lambda _ {1} + cdots + m_ {r} lambda _ {r} rangle ^ {s}}},}$

kde ${ displaystyle Phi ^ {+}}$ označuje množinu pozitivních kořenů, ${ displaystyle { lambda _ {i} }}$ je soubor jednoduchých kořenů a ${ displaystyle r}$ je hodnost.

Příklady

• ${ displaystyle zeta _ {SU (2)} (s) = zeta (s)}$, funkce Riemann zeta.
• ${ displaystyle zeta _ {SU (3)} (s) = součet _ {x = 1} ^ { infty} součet _ {y = 1} ^ { infty} { frac {1} {( xy (x + y) / 2) ^ {s}}}.}$

Úsečka konvergence

Li ${ displaystyle G}$ je jednoduchá a jednoduše spojená, úsečka konvergence ${ displaystyle zeta _ {G}}$ je ${ displaystyle r / kappa}$, kde ${ displaystyle r}$ je hodnost a ${ displaystyle kappa = | Phi ^ {+} |}$. Toto je věta kvůli Alexovi Lubotzkymu a Michaelovi Larsenovi.^[3] Nový důkaz podávají Jokke Häsä a Alexander Stasinski.^[4] Důkaz v ^[4] přináší obecnější výsledek, konkrétně dává explicitní hodnotu (ve smyslu jednoduché kombinatoriky) úsečky konvergence jakékoli „funkce Mellin zeta“ tvaru

${ displaystyle sum _ {x_ {1}, dots, x_ {r} = 1} ^ { infty} { frac {1} {P (x_ {1}, dots, x_ {r}) ^ {s}}},}$

kde ${ displaystyle P (x_ {1}, tečky, x_ {r})}$ je produkt lineárních polynomů s nezápornými reálnými koeficienty.

Reference

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.