Nastavit odhad - Set estimation

v statistika, a náhodný vektor X je klasicky reprezentován a funkce hustoty pravděpodobnosti. V přístup set-membership nebo nastavit odhad, X je reprezentován množinou X ke kterému X se předpokládá, že patří. To znamená, že Podpěra, podpora funkce rozdělení pravděpodobnosti X je součástí uvnitř X. Na jedné straně reprezentace náhodných vektorů množinami umožňuje poskytnout méně předpokladů o náhodných proměnných (například nezávislost) a řešení nelinearit je jednodušší. Na druhou stranu funkce rozdělení pravděpodobnosti poskytuje přesnější informace než množina obklopující jeho podporu.

Odhad set-členství

Nastavit odhad členství (nebo nastavit odhad zkráceně) je přístup odhadu který se domnívá, že měření jsou reprezentována množinou Y (většinou krabici R^m, kde mje počet měření) měřicího prostoru. Li p je vektor parametru a F je modelová funkce, pak je sada všech možných vektorů parametrů

${ displaystyle P = P_ {0} cap f ^ {- 1} (Y)}$,

kde P₀ je předchozí sada parametrů. Charakterizující P odpovídá a set-inverzní problém.^[1]

Rozlišení

Když F je lineární proveditelná množina P lze popsat lineárními nerovnostmi a lze je aproximovat pomocí lineární programování techniky.^[2]

Když F je nelineární, rozlišení lze provést pomocí intervalová analýza. The proveditelná sada P je pak aproximován vnitřním a vnějším dílčí dlažby. Hlavním omezením metody je její exponenciální složitost s ohledem na počet parametrů.^[3]

Příklad

Zvažte následující model

${ displaystyle phi (p_ {1}, p_ {2}, t) = (tp_ {1}) ^ {2} + tp_ {2} ^ {2} + sin (p_ {1} + tp_ {2 }),}$

kde p₁ a p₂ jsou dva parametry, které je třeba odhadnout.

Obrázek 1. Data ohraničené chyby

Předpokládejme, že občas t₁=−1, t₂=1, t₃= 2, byla shromážděna následující intervalová měření:

[y₁]=[−4,−2],

[y₂]=[4,9],

[y₃]=[7,11],

jak je znázorněno na obrázku 1. Odpovídající sada měření (zde rámeček) je

${ displaystyle Y = [y_ {1}] krát [y_ {2}] krát [y_ {3}]}$.

Funkce modelu je definována

${ displaystyle f (p_ {1}, p_ {2}) = { begin {bmatrix} p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2} + sin (p_ {1} -p_ { 2}) p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + sin (p_ {1} + p_ {2}) (2p_ {1}) ^ {2} + 2p_ {2} ^ {2} + sin (p_ {1} + 2p_ {2}) end {bmatrix}}}$

Součásti F jsou získány pomocí modelu pro každé měření času. Po vyřešení úlohy inverze množiny dostaneme aproximaci znázorněnou na obrázku 2. Červená pole jsou uvnitř proveditelné sady P a modré krabice jsou venku P.

Obrázek 2 Proveditelná sada parametrů

Rekurzivní případ

Odhad množiny lze použít k odhadu stavu systému popsaného stavovými rovnicemi pomocí rekurzivní implementace. Když je systém lineární, lze odpovídající proveditelnou množinu stavového vektoru popsat pomocí polytopů nebo elipsoidů^[4].^[5] Pokud je systém nelineární, lze sadu uzavřít dílčími dlaždicemi.^[6]

Robustní pouzdro

Když se vyskytnou odlehlé hodnoty, metoda odhadu sady obecně vrátí prázdnou sadu. To je způsobeno skutečností, že průnik mezi sadami vektorů parametrů, které jsou konzistentní s idatový řádek je prázdný. Abychom byli robustní vzhledem k odlehlým hodnotám, obecně charakterizujeme sadu vektorů parametrů, které jsou konzistentní se všemi datovými pruhy kromě q z nich. To je možné pomocí pojmu q-uvolněná křižovatka.

Viz také

• Nastavit identifikaci

Reference