Polo invariant toulce - Semi-invariant of a quiver

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, vzhledem k toulec Q se sadou vrcholů Q₀ a sada šípů Q₁, a zastoupení of Q přiřadí vektorový prostor PROTI_i ke každému vrcholu a lineární mapě PROTI(α): PROTI(s(α)) → PROTI(t(α)) ke každé šipce α, kde s(α), t(α) jsou počáteční a koncové vrcholy α. Vzhledem k prvku d ∈ ℕ^Q₀, množina reprezentací Q s dimPROTI_i = di) pro každého i má strukturu vektorového prostoru.

Je přirozeně obdařen akcí algebraická skupina ∏_i∈Q0 GL (d(i)) současnou změnou základny. Taková akce vyvolá jeden na okruhu funkcí. Nazývají se ty, které jsou invarianty až do charakteru skupiny semi-invarianty. Tvoří kruh, jehož struktura odráží reprezentačně-teoretické vlastnosti toulec.

Definice

Nechť Q = (Q₀, Q₁,s,t) být a toulec. Zvažte dimenzionální vektor d, to je prvek v ℕ^Q₀. Sada d-dimenzionální reprezentace je dána

${ displaystyle operatorname {Rep} (Q, mathbf {d}): = {V in operatorname {Rep} (Q): V_ {i} = mathbf {d} (i) }}$

Jednou pevné základy pro každý vektorový prostor PROTI_i to lze identifikovat pomocí vektorového prostoru

${ displaystyle bigoplus _ { alpha v Q_ {1}} operatorname {Hom} _ {k} (k ^ { mathbf {d} (s ( alpha))}, k ^ { mathbf {d } (t ( alpha))})}$

Taková afinní odrůda je vybavena působením algebraické skupiny GL (d) := ∏_{i∈ Q0} GL (d(i)) současnou změnou základny na každém vrcholu:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} GL ( mathbf {d}) times operatorname {Rep} (Q, mathbf {d}) & longrightarrow & operatorname {Rep} (Q, mathbf {d}) { Big (} (g_ {i}), (V_ {i}, V ( alpha)) { Big)} & longmapsto & (V_ {i}, g_ {t ( alpha)} cdot V ( alpha) cdot g_ {s ( alpha)} ^ {- 1}) end {pole}}}$

Podle definice dva moduly M,N ∈ Rep (Q,d) jsou izomorfní právě tehdy, když jejich GL (d) -orbits se shodují.

Máme indukovanou akci na souřadnicovém kruhu k[Rep (Q,d)] definováním:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} GL ( mathbf {d}) times k [ operatorname {Rep} (Q, mathbf {d})] & longrightarrow & k [ operatorname {Rep} ( Q, mathbf {d})] (g, f) & longmapsto & g cdot f (-): = f (g ^ {- 1} .-) end {pole}}}$

Polynomiální invarianty

Prvek F ∈ k[Rep (Q,d)] se nazývá invariant (s ohledem na GL (d)) pokud G⋅F = F pro všechny G ∈ GL (d). Sada invarianty

${ displaystyle I (Q, mathbf {d}): = k [ operatorname {Rep} (Q, mathbf {d})] ^ {GL ( mathbf {d})}}$

je obecně subalgebra k[Rep (Q,d)].

Příklad

Zvažte 1-smyčkový toulec Q:

Pro d = (n) reprezentační prostor je Konec (kⁿ) a působení GL (n) je dán obvyklou konjugací. Invariantní prsten je

${ displaystyle I (Q, mathbf {d}) = k [c_ {1}, ldots, c_ {n}]}$

Kde C_is jsou definovány pro všechny A ∈ Konec (kⁿ), jako koeficienty charakteristického polynomu

${ displaystyle det (At mathbb {I}) = t ^ {n} -c_ {1} (A) t ^ {n-1} + cdots + (- 1) ^ {n} c_ {n} (A)}$

Semi-invarianty

V případě, že Q nemá ani smyčky, ani cykly odrůdy k[Rep (Q,d)] má jedinečnou uzavřenou oběžnou dráhu odpovídající této jedinečné d-dimenzionální polo-jednoduchá reprezentace, proto je jakákoli invariantní funkce konstantní.

Prvky, které jsou invarianty s ohledem na podskupinu SL (d) := ∏_{{i ∈ Q0}} SL (d(i)) tvoří kruh, SI (Q,d), s bohatší strukturou zvanou prsten semi-invarianty. Rozkládá se jako

${ displaystyle SI (Q, mathbf {d}) = bigoplus _ { sigma v mathbb {Z} ^ {Q_ {0}}} SI (Q, mathbf {d}) _ { sigma} }$

kde

${ displaystyle SI (Q, mathbf {d}) _ { sigma}: = {f v k [ operatorname {Rep} (Q, mathbf {d})]: g cdot f = prod _ {i in Q_ {0}} det (g_ {i}) ^ { sigma _ {i}} f, forall g in GL ( mathbf {d}) }.}$

Funkce patřící k SI (Q,d)_σ se nazývá polo invariant hmotnostiσ.

Příklad

Zvažte toulec Q:

${ displaystyle 1 { xrightarrow { alfa }} 2}$

Opravit d = (n,n). V tomto případě k[Rep (Q,(n,n))] je shodný s množinou čtvercových matic velikosti n: M(n). Definovaná funkce pro všechny B ∈ M(n), jak det^u(B(α)) je polo invariant hmotnosti (u,−u) ve skutečnosti

${ displaystyle (g_ {1}, g_ {2}) cdot { det} ^ {u} (B) = { det} ^ {u} (g_ {2} ^ {- 1} Bg_ {1} ) = { det} ^ {u} (g_ {1}) { det} ^ {- u} (g_ {2}) { det} ^ {u} (B)}$

Kruh semi-invariants se rovná polynomiálnímu kruhu generovanému det, tj.

${ displaystyle { mathsf {SI}} (Q, mathbf {d}) = k [ det]}$

Charakterizace typu reprezentace prostřednictvím semi-invariantní teorie

Pro toulce typu konečné reprezentace, to znamená Dynkin se třese, vektorový prostor k[Rep (Q,d)] připouští otevřenou hustou oběžnou dráhu. Jinými slovy, je to prehomogenní vektorový prostor. Sato a Kimura v takovém případě popsali prsten poloinvariantů.

Sato – Kimurova věta

Nechť Q je a Dynkin toulec, d vektor dimenze. Nechť Σ je množina vah σ taková, že existuje F_σ ∈ SI (Q,d)_σ nenulové a neredukovatelné. Pak platí následující vlastnosti.

i) Pro každou váhu σ máme dim_k SI (Q,d)_σ ≤ 1.

ii) Všechny váhy v Σ jsou lineárně nezávislé na ℚ.

iii) SI (Q,d) je polynomiální kruh generovaný F_σje, σ ∈ Σ.

Dále máme interpretaci pro generátory této polynomiální algebry. Nechat Ó být tedy otevřená oběžná dráha k[Rep (Q,d)] \ Ó = Z₁ ∪ ... ∪ Z_t kde každý Z_i je uzavřený a neredukovatelný. Můžeme předpokládat, že Z_is jsou uspořádány ve vzestupném pořadí s ohledem na codimension, takže první l mít codimension jedna a Z_i je nulová množina neredukovatelného polynomu F₁, pak SI (Q,d) = k[F₁, ..., F_l].

Příklad

Ve výše uvedeném příkladu působí GL (n,n) má otevřenou oběžnou dráhu M(n) sestávající z invertibilních matic. Pak okamžitě získáme SI (Q, (n,n)) = k[det].

Skowronski – Weyman poskytl geometrickou charakteristiku třídy krotkých toulců (tj. Dynkin a Euklidovské toulce ), pokud jde o semi-invarianty.

Věta Skowronski – Weyman

Nechť Q je konečně spojený toulec. Následující jsou ekvivalentní:

i) Q je buď a Dynkin toulec nebo Euklidovský toulec.

ii) Pro každý dimenzionální vektor d, algebra SI (Q,d) je úplná křižovatka.

iii) Pro každý dimenzní vektor d, algebra SI (Q,d) je buď polynomiální algebra, nebo hyperplocha.

Příklad

Zvažte Euklidovský toulec Otázka:

Vyberte vektor kóty d = (1,1,1,1,2). Prvek PROTI ∈ k[Rep (Q,d)] lze identifikovat pomocí 4-ple (A₁, A₂, A₃, A₄) matic v M(1,2). Volání D_i,j funkce definovaná na každém z nich PROTI jako det (A_i,A_j). Takové funkce generují kruh polo invarianty:

${ displaystyle SI (Q, mathbf {d}) = { frac {k [D_ {1,2}, D_ {3,4}, D_ {1,4}, D_ {2,3}, D_ { 1,3}, D_ {2,4}]} {D_ {1,2} D_ {3,4} + D_ {1,4} D_ {2,3} -D_ {1,3} D_ {2, 4}}}}$

Reference

• Derksen, H .; Weyman, J. (2000), „Poloinvarianty toulců a sytosti pro koeficienty Littlewood – Richardson.“, J. Amer. Matematika. Soc., 3 (13): 467–479, PAN  1758750
• Sato, M .; Kimura, T. (1977), „Klasifikace neredukovatelných prehomogenních vektorových prostorů a jejich relativních invariantů.“, Nagojská matematika. J., 65: 1–155, PAN  0430336
• Skowronski, A .; Weyman, J. (2000), „Algebry poloinvariantů toulců.“, Přeměnit. Skupiny, 5 (4): 361–402, doi:10.1007 / bf01234798, PAN  1800533