Schurova věta o produktu - Schur product theorem

v matematika, zejména v lineární algebra, Schurova věta o produktu uvádí, že Produkt Hadamard ze dvou pozitivní určité matice je také pozitivní určitá matice. Výsledek je pojmenován po Issai Schur^[1] (Schur 1911, s. 14, Věta VII) (všimněte si, že Schur podepsal jako J. Schur v Journal für die reine und angewandte Mathematik.^[2][3])

Důkaz

Důkaz pomocí trasovacího vzorce

Pro všechny matice ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$, produkt Hadamard ${ displaystyle M circ N}$ považována za bilineární formu působí na vektory ${ displaystyle a, b}$ tak jako

${ displaystyle a ^ {*} (M circ N) b = operatorname {tr} left (M ^ { textyf {T}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N operatorname {diag} (b) right)}$

kde ${ displaystyle operatorname {tr}}$ je matice stopa a ${ displaystyle operatorname {diag} (a)}$ je diagonální matice mít jako diagonální vstupy prvky ${ displaystyle a}$.

Předpokládat ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$ jsou kladně definitivní atd Hermitian. Můžeme uvažovat o jejich odmocninách ${ displaystyle M ^ { frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle N ^ { frac {1} {2}}}$, což jsou také poustevníci, a píší

${ displaystyle operatorname {tr} left (M ^ { textyf {T}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N operatorname {diag} (b) right) = operatorname {tr} left ({ overline {M}} ^ { frac {1} {2}} { overline {M}} ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N ^ { frac {1} {2}} N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (b) right) = operatorname {tr} left ({ overline {M}} ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} left (a ^ {*} right) N ^ { frac {1} {2}} N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (b) { overline {M}} ^ { frac {1} {2}} vpravo)}$

Pak pro ${ displaystyle a = b}$, toto je psáno jako ${ displaystyle operatorname {tr} doleva (A ^ {*} A doprava)}$ pro ${ displaystyle A = N ^ { frac {1} {2}} operatorname {diag} (a) { overline {M}} ^ { frac {1} {2}}}$ a je tedy přísně pozitivní ${ displaystyle A neq 0}$, ke kterému dochází právě tehdy ${ displaystyle a neq 0}$. To ukazuje ${ Displaystyle (M Circ N)}$ je pozitivní určitá matice.

Důkaz využívající Gaussovu integraci

Případ M = N

Nechat ${ displaystyle X}$ být ${ displaystyle n}$-dimenzionální na střed Gaussova náhodná proměnná s kovariance ${ displaystyle langle X_ {i} X_ {j} rangle = M_ {ij}}$. Pak kovarianční matice ${ displaystyle X_ {i} ^ {2}}$ a ${ displaystyle X_ {j} ^ {2}}$ je

${ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} ^ {2}, X_ {j} ^ {2} right) = left langle X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ { 2} right rangle - left langle X_ {i} ^ {2} right rangle left langle X_ {j} ^ {2} right rangle}$

Použitím Wickova věta Vyvinout ${ displaystyle left langle X_ {i} ^ {2} X_ {j} ^ {2} right rangle = 2 left langle X_ {i} X_ {j} right rangle ^ {2} + left langle X_ {i} ^ {2} right rangle left langle X_ {j} ^ {2} right rangle}$ my máme

${ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} ^ {2}, X_ {j} ^ {2} right) = 2 left langle X_ {i} X_ {j} right rangle ^ {2} = 2M_ {ij} ^ {2}}$

Protože kovarianční matice je pozitivně definitivní, dokazuje to matice s prvky ${ displaystyle M_ {ij} ^ {2}}$ je pozitivní určitá matice.

Obecný případ

Nechat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ být ${ displaystyle n}$-dimenzionální na střed Gaussovské náhodné proměnné s kovariance ${ displaystyle left langle X_ {i} X_ {j} right rangle = M_ {ij}}$, ${ displaystyle left langle Y_ {i} Y_ {j} right rangle = N_ {ij}}$ a nezávisle na sobě, takže máme

${ displaystyle left langle X_ {i} Y_ {j} right rangle = 0}$ pro všechny ${ displaystyle i, j}$

Pak kovarianční matice ${ displaystyle X_ {i} Y_ {i}}$ a ${ displaystyle X_ {j} Y_ {j}}$ je

${ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} Y_ {i}, X_ {j} Y_ {j} right) = left langle X_ {i} Y_ {i} X_ {j} Y_ { j} right rangle - left langle X_ {i} Y_ {i} right rangle left langle X_ {j} Y_ {j} right rangle}$

Použitím Wickova věta Vyvinout

${ displaystyle left langle X_ {i} Y_ {i} X_ {j} Y_ {j} right rangle = left langle X_ {i} X_ {j} right rangle left langle Y_ { i} Y_ {j} right rangle + left langle X_ {i} Y_ {i} right rangle left langle X_ {j} Y_ {j} right rangle + left langle X_ { i} Y_ {j} pravý rangle levý langle X_ {j} Y_ {i} pravý rangle}$

a také s využitím nezávislosti ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, my máme

${ displaystyle operatorname {Cov} left (X_ {i} Y_ {i}, X_ {j} Y_ {j} right) = left langle X_ {i} X_ {j} right rangle left langle Y_ {i} Y_ {j} right rangle = M_ {ij} N_ {ij}}$

Protože kovarianční matice je pozitivně definitivní, dokazuje to matice s prvky ${ displaystyle M_ {ij} N_ {ij}}$ je pozitivní určitá matice.

Důkaz pomocí vlastního složení

Důkaz pozitivní semidefinitity

Nechat ${ displaystyle M = sum mu _ {i} m_ {i} m_ {i} ^ { textyf {T}}}$ a ${ displaystyle N = sum nu _ {i} n_ {i} n_ {i} ^ { textyf {T}}}$. Pak

${ displaystyle M circ N = součet _ {ij} mu _ {i} nu _ {j} vlevo (m_ {i} m_ {i} ^ { textyf {T}} vpravo) circ left (n_ {j} n_ {j} ^ { papersf {T}} right) = sum _ {ij} mu _ {i} nu _ {j} left (m_ {i} circ n_ {j} right) left (m_ {i} circ n_ {j} right) ^ { textyf {T}}}$

Každý ${ displaystyle left (m_ {i} circ n_ {j} right) left (m_ {i} circ n_ {j} right) ^ { textyf {T}}}$ je pozitivní semidefinitní (ale s výjimkou jednorozměrného případu není pozitivní definitivní, protože jsou) hodnost 1 matice). Taky, ${ displaystyle mu _ {i} nu _ {j}> 0}$ tedy součet ${ displaystyle M circ N}$ je také pozitivní semidefinitní.

Důkaz definitivity

K prokázání, že výsledek je pozitivní, je určitý důkaz, vyžaduje další důkaz. Ukážeme to pro jakýkoli vektor ${ displaystyle a neq 0}$, my máme ${ displaystyle a ^ { textyf {T}} (M circ N) a> 0}$. Pokračujeme výše uvedeným způsobem ${ displaystyle a ^ { textyf {T}} doleva (m_ {i} circ n_ {j} doprava) doleva (m_ {i} circ___ j) doprava) ^ { textyf {T }} a geq 0}$, takže zbývá ukázat, že existují ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ pro které je odpovídající výraz výše nezáporný. Z tohoto důvodu to pozorujeme

${ displaystyle a ^ { textyf {T}} (m_ {i} circ n_ {j}) (m_ {i} circ n_ {j}) ^ { textyf {T}} a = doleva ( součet _ {k} m_ {i, k} n_ {j, k} a_ {k} vpravo) ^ {2}}$

Od té doby ${ displaystyle N}$ je pozitivní určitý, existuje ${ displaystyle j}$ pro který ${ displaystyle n_ {j} circ a neq 0}$ (protože jinak ${ displaystyle n_ {j} ^ { textyf {T}} a = součet _ {k} (n_ {j} circ a) _ {k} = 0}$ pro všechny ${ displaystyle j}$) a obdobně od ${ displaystyle M}$ je pozitivní určitý existuje ${ displaystyle i}$ pro který ${ displaystyle sum _ {k} m_ {i, k} (n_ {j} circ a) _ {k} = m_ {i} ^ { textyf {T}} (n_ {j} circ) neq 0.}$ Tato poslední částka je však spravedlivá ${ displaystyle sum _ {k} m_ {i, k} n_ {j, k} a_ {k}}$. Jeho čtverec je tedy kladný. Tím je důkaz dokončen.

Reference

externí odkazy

• Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen na EUDML