Měřítková analýza (matematika) - Scale analysis (mathematics)

Přizpůsobit aproximaci
Koncepty
Objednávky přibližování Měřítková analýza  · Velká O notace Křivka  · Falešná přesnost Významné údaje
Další základy
Přiblížení  · Chyba generalizace Taylorův polynom Vědecké modelování

Měřítková analýza (nebo řádová analýza) je mocný nástroj používaný v matematické vědy pro zjednodušení rovnice s mnoha pojmy. Nejprve se určí přibližná velikost jednotlivých členů v rovnicích. Pak mohou být některé zanedbatelně malé výrazy ignorovány.

Příklad: vertikální hybnost v meteorologii v synoptickém měřítku

Zvažte například hybnost rovnice z Navier-Stokesovy rovnice ve svislém směru souřadnic atmosféry

${ displaystyle {{ částečné w} nad { částečné t}} + u { frac { částečné w} { částečné x}} + v { frac { částečné w} { částečné y}} + w { frac { částečné w} { částečné z}} - { frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { částečné p} { částečné z}}} - g + 2 { Omega u cos varphi} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} w} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} w} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} w} { částečné z ^ {2} }} vpravo), qquad (1)}$

kde R je Země poloměr, Ω je frekvence rotace Země, G je gravitační zrychlení, φ je zeměpisná šířka, ρ je hustota vzduchu a ν je kinematická viskozita vzduchu (turbulence v něm můžeme zanedbávat) volná atmosféra ).

v přehledná stupnice můžeme očekávat horizontální rychlosti kolem U = 10¹ slečna⁻¹ a vertikální kolem Ž = 10⁻² slečna⁻¹. Horizontální měřítko je L = 10⁶ ma svislá stupnice je H = 10⁴ m. Typická časová stupnice je T = L/U = 10⁵ s. Tlakové rozdíly v troposféře jsou ΔP = 10⁴ Pa a hustota vzduchu ρ = 10⁰ kg · m⁻³. Další fyzikální vlastnosti jsou přibližně:

R = 6.378 × 10⁶ m;

Ω = 7,292 × 10⁻⁵ rad · s^−1;

ν = 1,46 × 10⁻⁵ m²· S^−1;

G = 9,81 m · s^−2.

Odhady různých výrazů v rovnici (1) lze provést pomocí jejich stupnic:

${ displaystyle { begin {aligned} {{ částečné w} nad { částečné t}} & sim { frac {W} {T}} [1.2ex] u { frac { částečné w } { částečné x}} & sim U { frac {W} {L}} & qquad v { frac { částečné w} { částečné y}} & sim U { frac {W} { L}} & qquad w { frac { částečné w} { částečné z}} & sim W { frac {W} {H}} [1.2ex] { frac {u ^ {2} } {R}} & sim { frac {U ^ {2}} {R}} & qquad { frac {v ^ {2}} {R}} & sim { frac {U ^ {2 }} {R}} [1.2ex] { frac {1} { varrho}} { frac { částečný p} { částečný z}} & sim { frac {1} { varrho} } { frac { Delta P} {H}} & qquad Omega u cos varphi & sim Omega U [1.2ex] nu { frac { částečné ^ {2} w} { částečné x ^ {2}}} & sim nu { frac {W} {L ^ {2}}} & qquad nu { frac { částečné ^ {2} w} { částečné y ^ {2}}} & sim nu { frac {W} {L ^ {2}}} & qquad nu { frac { částečné ^ {2} w} { částečné z ^ {2}} } & sim nu { frac {W} {H ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Nyní můžeme tyto váhy a jejich hodnoty zavést do rovnice (1):

${ displaystyle { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {5}}} + 10 { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 ^ {- 2} { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {4}}} - { frac {10 ^ {2} + 10 ^ {2}} {10 ^ {6}}}}$

${ displaystyle = - {{ frac {1} {1}} { frac {10 ^ {4}} {10 ^ {4}}}} - 10 + 2 krát 10 ^ {- 4} krát 10 +10 ^ {- 5} left ({ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {8}}} vpravo). qquad (2)}$

Vidíme, že všechny výrazy - kromě prvního a druhého na pravé straně - jsou zanedbatelně malé. Můžeme tedy zjednodušit rovnici vertikální hybnosti na hydrostatická rovnováha rovnice:

${ displaystyle {{ frac {1} { varrho}} { frac { částečné p} { částečné z}}} = - g. qquad (3)}$

Pravidla měřítkové analýzy

Škálová analýza je velmi užitečným a široce používaným nástrojem pro řešení problémů v oblasti přenosu tepla a mechaniky tekutin, tlakem poháněného stěnového paprsku, oddělování toků za kroky obrácenými dozadu, plamenů difúze paprsků, studia lineární a nelineární dynamiky. Škálová analýza se doporučuje jako prvotřídní metoda pro získání co nejvíce informací na jednotku intelektuálního úsilí, a to navzdory skutečnosti, že je předpokladem pro dobrou analýzu v bezrozměrné formě. Cílem škálové analýzy je použít základní principy konvekčního přenosu tepla k vytvoření odhadů řádu pro požadované veličiny. Škálová analýza předpovídá v řádovém faktoru jednoho řádného, ​​pokud bude provedena správně, drahé výsledky produkované přesnými analýzami. Měřítková analýza vládla takto:

Pravidlo1- Prvním krokem v měřítkové analýze je definování domény rozsahu, ve kterém aplikujeme měřítkovou analýzu. Jakákoli měřítková analýza oblasti toku, která není jednoznačně definována, není platná.

Pravidlo2- Jedna rovnice představuje ekvivalenci mezi škálami dvou dominantních výrazů, které se v rovnici objevují. Například,

${ displaystyle rho c_ {P} {{ částečné T} nad { částečné t}} = k { frac { částečné ^ {2} T} { částečné x ^ {2}}}.}$

Ve výše uvedeném příkladu může být levá strana stejného řádu jako pravá strana.

Pravidlo3- Pokud v součtu dvou podmínek daných

${ displaystyle c = a + b}$

řád jednoho členu je větší než řád druhého členu

${ displaystyle O (a)> O (b)}$

pak je řád velikosti součtu diktován dominantním členem

${ displaystyle O (c) = O (a)}$

Stejný závěr platí, pokud máme rozdíl dvou pojmů

${ displaystyle c = a-b}$

Pravidlo4- V součtu dvou členů, pokud jsou dva členy stejného řádu,

${ displaystyle c = a + b}$

${ displaystyle O (a) = O (b)}$

pak je součet také stejného řádu:

${ displaystyle O (a) thicksim O (b) thicksim O (c)}$

Pravidlo5- V případě produktu dvou podmínek

${ displaystyle p = ab}$

řádový součin produktu se rovná součinu řádového součtu dvou faktorů

${ displaystyle O (p) = O (a) O (b)}$

pro poměry

${ displaystyle r = { frac {a} {b}}}$

pak

${ displaystyle O (r) = { frac {O (a)} {O (b)}}}$

zde O (a) představuje řád a.

~ znamená, že dva termíny jsou stejného řádu.

> představuje větší než, ve smyslu řádu.

Rozvíjení toku ve vstupní oblasti potrubí s paralelními deskami

Škálová analýza plně vyvinutého toku

Zvažte stálý laminární tok viskózní tekutiny uvnitř kruhové trubice. Nechte tekutinu vstoupit rovnoměrnou rychlostí přes průtok v průřezu. Jak se tekutina pohybuje dolů trubicí, tvoří se mezní vrstva tekutiny s nízkou rychlostí a roste na povrchu, protože tekutina bezprostředně sousedící s povrchem má nulovou rychlost. Zvláštním a zjednodušujícím znakem viskózního proudění uvnitř válcových trubek je skutečnost, že mezní vrstva se musí setkávat ve středové ose trubice a rozdělení rychlosti pak vytvoří pevný vzor, ​​který je neměnný. Hydrodynamická vstupní délka je ta část trubice, ve které roste mezní vrstva hybnosti a distribuce rychlosti se mění s délkou. Pevná distribuce rychlosti v plně rozvinuté oblasti se nazývá plně rozvinutý rychlostní profil. Kontinuita v ustáleném stavu a zachování rovnic hybnosti v dvourozměrném jsou

${ displaystyle {{ částečné u} nad { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} = 0, qquad (1)}$

${ displaystyle u {{ částečné u} nad { částečné x}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { částečné P} { částečné x}}} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ { 2} u} { částečné y ^ {2}}} vpravo), qquad (2)}$

${ displaystyle u {{ částečné v} nad { částečné x}} + v { frac { částečné v} { částečné y}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { částečné P} { částečné y}}} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} v} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ { 2} v} { částečné y ^ {2}}} vpravo), qquad (3)}$

Tyto rovnice lze zjednodušit pomocí škálové analýzy. V každém okamžiku ${ displaystyle x sim L}$ v plně rozvinuté zóně máme ${ displaystyle y sim delta}$ a ${ displaystyle u sim U _ { infty}}$. Nyní z rovnice (1) je složka příčné rychlosti v plně rozvinuté oblasti zjednodušena pomocí škálování jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} v & sim { frac {U _ { infty} delta} {L}} qquad (4) end {zarovnáno}}}$

V plně rozvinutém regionu ${ displaystyle L >> delta}$, takže měřítko příčné rychlosti je z rovnice (4) zanedbatelné. Proto v plně vyvinutém toku to vyžaduje rovnice kontinuity

${ displaystyle v = 0, {{ částečné u} nad { částečné x}} = 0 qquad (5)}$

Na základě rovnice (5) se rovnice hybnosti y (3) redukuje na

${ displaystyle {{ částečné P} nad { částečné y}} = 0 qquad (6)}$

to znamená, že P je funkcí pouze x. Z toho se stane rovnice hybnosti x

${ displaystyle {{dP} over {dx}} = mu {{d ^ {2} u} over {dy ^ {2}}} = konstantní qquad (7)}$

Každý člen by měl být konstantní, protože levá strana je funkcí pouze x a pravá je funkcí y. Řešení rovnice (7) s výhradou okrajové podmínky

${ displaystyle u = 0, y = pm { frac {D} {2}} qquad (8)}$

výsledkem je známé řešení Hagen – Poiseuille pro plně vyvinutý tok mezi paralelními deskami.

${ displaystyle u = { frac {3} {2}} U [1 - {({ frac {y} {D / 2}})} ^ {2}] qquad (9)}$

${ displaystyle U = { frac {D ^ {2}} {12 mu}} (- { frac {dP} {dx}}) qquad (10)}$

kde y se měří od středu kanálu. Rychlost musí být parabolická a je úměrná tlaku na jednotku délky potrubí ve směru proudění.

Viz také

• Přiblížení
• Dimenzionální analýza

Reference

• Barenblatt, G. I. (1996). Škálování, podobnost sebe sama a střední asymptotika. Cambridge University Press. ISBN  0-521-43522-6.
• Tennekes, H.; Lumley, John L. (1972). První kurz turbulence. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN  0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Konvekční přenos tepla. John Wiley a synové. ISBN  978-81-265-0934-8.
• Kays, W. M., Crawford M. E. (2012). Konvekční přenos tepla a hmoty. McGraw Hill Education (Indie). ISBN  978-1-25-902562-4.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

externí odkazy

• Škálová analýza a Reynoldsova čísla