Věta o Saint-Venantsovi - Saint-Venants theorem - Wikipedia

v mechanika těles, je běžné analyzovat vlastnosti paprsky s konstantním průřezem. Saint-Venantova věta uvádí, že jednoduše připojeno průřez s maximem torzní tuhost je kruh.^[1] Je pojmenována po francouzském matematikovi Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant.

Vzhledem k jednoduše připojeno doména D v rovině s plochou A, ${ displaystyle rho}$ poloměr a ${ displaystyle sigma}$ oblast jeho největšího vepsaného kruhu, torzní tuhost P z D je definováno

${ displaystyle P = 4 sup _ {f} { frac { left ( iint limity _ {D} f , dx , dy right) ^ {2}} { iint limity _ {D } {f_ {x}} ^ {2} + {f_ {y}} ^ {2} , dx , dy}}.}$

Tady supremum přebírá všechny spojitě diferencovatelné funkce mizející na hranici D. Existence tohoto nadřazení je důsledkem Poincarého nerovnost.

Saint-Venant^[2] v roce 1856 se domníval, že ze všech domén D stejné plochy A kruhový má největší torzní tuhost, to znamená

${ displaystyle P leq P _ { text {circle}} leq { frac {A ^ {2}} {2 pi}}.}$

Důsledný důkaz této nerovnosti byl uveden až v roce 1948 Pólya.^[3] Další důkaz poskytl Davenport a nahlášeno v.^[4] Obecnější důkaz a odhad

${ displaystyle P <4 rho ^ {2} A}$

je dán Makai.^[1]

Poznámky