Sahlqvistův vzorec - Sahlqvist formula
v modální logika, Sahlqvistovy vzorce jsou určitý druh modálního vzorce s pozoruhodnými vlastnostmi. The Sahlqvistova věta o korespondenci uvádí, že každý Sahlqvist vzorec je kanonický, a odpovídá a první objednávka definovatelná třída Kripke rámy.
Sahlqvistova definice charakterizuje rozhodnou sadu modálních vzorců s korespondenty prvního řádu. Jelikož je podle Chagrovy věty nerozhodné, zda má libovolný modální vzorec korespondenta prvního řádu, existují vzorce s rámcovými podmínkami prvního řádu, které nejsou Sahlqvist [Chagrova 1991] (viz příklady níže). Proto Sahlqvistovy vzorce definují pouze (rozhodnutelnou) podmnožinu modálních vzorců s korespondenty prvního řádu.
Definice
Sahlqvistovy vzorce jsou sestaveny z implikací, z nichž vyplývá důsledek pozitivní a předchůdce má omezenou formu.
- A atom v krabici je výrokový atom, kterému předchází počet (případně 0) rámečků, tj. vzorec ve tvaru (často zkráceno jako pro ).
- A Sahlqvist předchůdce je vzorec vytvořený pomocí using, ∨ a z orámovaných atomů a negativních vzorců (včetně konstant ⊥, ⊤).
- A Sahlqvistova implikace je vzorec A → B, kde A je Sahlqvistův předchůdce a B je pozitivní vzorec.
- A Sahlqvistův vzorec je konstruován z Sahlqvistových implikací pomocí ∧ a (neomezeně) a použití ∨ na vzorcích bez společných proměnných.
Příklady Sahlqvistových vzorců
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a definuje vše reflexní rámy
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a definuje vše symetrické rámečky
- nebo
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a definuje vše přechodné rámce
- nebo
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a definuje vše husté rámy
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a definuje vše vpravo neomezené rámečky (také nazývané sériové)
- Jeho odpovídající vzorec prvního řádu je a je to Vlastnost Church-Rosser.
Příklady nesahlqvistických vzorců
- To je McKinseyův vzorec; nemá podmínku rámce prvního řádu.
- The Löbův axiom není Sahlqvist; opět nemá podmínku rámce prvního řádu.
- Spojení McKinseyova vzorce a (4) axiomu má podmínku rámce prvního řádu (spojení vlastnosti přechodnosti s vlastností ), ale není ekvivalentní žádnému Sahlqvistovu vzorci.
Krachtova věta
Když je Sahlqvistův vzorec použit jako axiom v normální modální logice, je zaručeno, že logika bude úplná s ohledem na základní třídu rámců, které axiom definuje. Tento výsledek pochází z Sahlqvistovy věty o úplnosti [Modal Logic, Blackburn et al., Věta 4.42]. Existuje však také věta o obrácení, konkrétně věta, která uvádí, které podmínky prvního řádu jsou korespondenty Sahlqvistických vzorců. Krachtova věta to říká jakýkoli Sahlqvistův vzorec místně odpovídá Krachtovu vzorci; a naopak, každá Krachtova formule je místním korespondentem prvního řádu nějakého Sahlqvistova vzorce, který lze efektivně získat z Krachtova vzorce [Modální logika, Blackburn et al., Věta 3,59].
Reference
- L. A. Chagrova, 1991. Nerozhodnutelný problém v teorii korespondence. Journal of Symbolic Logic 56:1261–1272.
- Marcus Kracht, 1993. Jak se vdala teorie úplnosti a korespondence. In de Rijke, redaktor, Diamanty a výchozí hodnoty, strany 175–214. Kluwer.
- Henrik Sahlqvist, 1975. Korespondence a úplnost v sémantice prvního a druhého řádu pro modální logiku. v Proceedings of the Third Scandinavian Logic Symposium. Severní Holandsko, Amsterdam.