Remez nerovnost - Remez inequality

v matematika, Remez nerovnost, objevený sovětským matematikem Evgeny Yakovlevich Remez (Remez 1936 ), dává vazbu na sup normy určitých polynomů, přičemž vazby je dosaženo Čebyševovy polynomy.

Nerovnost

Nechť σ je libovolné pevné kladné číslo. Definujte třídu polynomů π_n(σ) být těmito polynomy p z nth stupeň, pro který

${displaystyle | p (x) | leq 1}$

na nějaké množině měr ≥ 2 obsažených v uzavřeném intervalu [−1, 1 + σ]. Pak Remez nerovnost tvrdí, že

${displaystyle sup _ {pin pi _ {n} (sigma)} | p | _ {infty} = | T_ {n} | _ {infty}}$

kde T_n(X) je Čebyševův polynom stupně n, a nadřazená norma je převzata z intervalu [-1, 1 + σ].

Dodržujte to T_n roste dál ${displaystyle [1, + infty]}$, proto

${displaystyle | T_ {n} | _ {infty} = T_ {n} (1 + sigma).}$

R.i. v kombinaci s odhadem Čebyševových polynomů implikuje následující důsledek: If J ⊂ R je konečný interval a E ⊂ J je tedy libovolná měřitelná množina

${displaystyle max _ {xin J} | p (x) | leq left ({frac {4 ,, {extrm {mes}} J} {{extrm {mes}} E}} ight) ^ {n} sup _ { xin E} | p (x) | qquad qquad (*)}$

pro libovolný polynom p stupně n.

Přípony: Lemma Nazarov – Turán

Nerovnosti podobné (_*) byly prokázány pro různé třídy funkcí a jsou známé jako nerovnosti typu Remez. Jedním důležitým příkladem je Nazarov nerovnost pro exponenciální součty (Nazarov 1993 ):

Nazarovova nerovnost. Nechat

${displaystyle p (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} e ^ {lambda _ {k} x}}$

být exponenciální součet (s libovolným λ_k ∈C) a nechte J ⊂ R být konečným intervalem, E ⊂ J— Libovolná měřitelná množina. Pak

${displaystyle max _ {xin J} | p (x) | leq e ^ {max _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J} vlevo ({frac {C ,, {extrm {mes }} J} {{extrm {mes}} E}} ight) ^ {n-1} sup _ {xin E} | p (x) | ~,}$

kde C > 0 je číselná konstanta.

Ve zvláštním případě, když λ_k jsou čistě imaginární a celé číslo a podmnožina E je sám o sobě interval, nerovnost byla prokázána Pál Turán a je známé jako Turánovo lemma.

Tato nerovnost se rovněž vztahuje na ${displaystyle L ^ {p} (mathbb {T}), 0leq pleq 2}$ následujícím způsobem

${displaystyle | p | _ {L ^ {p} (mathbb {T})} leq e ^ {A (n-1) {extrm {mes}} (mathbb {T} setminus E)} | p | _ {L ^ {p} (E)}}$

pro některé A> 0 nezávislé na p, E, a n. Když

${displaystyle mathrm {mes} E <1- {frac {log n} {n}}}$

platí obdobná nerovnost p > 2. Pro p= ∞ existuje rozšíření multidimenzionálních polynomů.

Důkaz: Uplatňování Nazarovova lemmatu na ${displaystyle E = E_ {lambda} = {x ,: | p (x) | leq lambda}, lambda> 0}$ vede k

${displaystyle max _ {xin J} | p (x) | leq e ^ {max _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J} vlevo ({frac {C ,, {extrm {mes }} J} {{extrm {mes}} E_ {lambda}}} ight) ^ {n-1} sup _ {xin E_ {lambda}} | p (x) | leq e ^ {max _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J} vlevo ({frac {C ,, {extrm {mes}} J} {{extrm {mes}} E_ {lambda}}} ight) ^ {n-1 } lambda}$

tím pádem

${displaystyle {extrm {mes}} E_ {lambda} leq C ,, {extrm {mes}} Jleft ({frac {lambda e ^ {max _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J }} {max _ {xin J} | p (x) |}} ight) ^ {frac {1} {n-1}}}$

Nyní opravte sadu ${displaystyle E}$ a vybrat ${displaystyle lambda}$ takhle ${displaystyle {extrm {mes}} E_ {lambda} leq {frac {1} {2}} {extrm {mes}} E}$, to je

${displaystyle lambda = left ({frac {{extrm {mes}} E} {2Cmathrm {mes} J}} ight) ^ {n-1} e ^ {- max _ {k} | Re lambda _ {k} | , mathrm {mes} J} max _ {xin J} | p (x) |}$

To znamená:

1. ${displaystyle {extrm {mes}} Esetminus E_ {lambda} geq {frac {1} {2}} {extrm {mes}} E}$.
2. ${displaystyle forall xin Esetminus E_ {lambda}: | p (x) |> lambda}$.

Nyní

${displaystyle {egin {aligned} int _ {xin E} | p (x) | ^ {p}, {mbox {d}} x & geq int _ {xin Esetminus E_ {lambda}} | p (x) | ^ {p }, {mbox {d}} x [6pt] & geq lambda ^ {p} {frac {1} {2}} {extrm {mes}} E [6pt] & = {frac {1} {2}} {extrm {mes}} Eleft ({frac {{extrm {mes}} E} {2Cmathrm {mes} J}} ight) ^ {p (n-1)} e ^ {- pmax _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J} max _ {xin J} | p (x) | ^ {p} [6pt] & geq {frac {1} {2}} {frac {{extrm {mes} } E} {{extrm {mes}} J}} vlevo ({frac {{extrm {mes}} E} {2Cmathrm {mes} J}} ight) ^ {p (n-1)} e ^ {- pmax _ {k} | Re lambda _ {k} |, mathrm {mes} J} int _ {xin J} | p (x) | ^ {p}, {mbox {d}} x, konec {zarovnáno}}}$

který doplňuje důkaz.

Pólya nerovnost

Jeden z důsledků R.i. je Pólya nerovnost, což bylo prokázáno George Pólya (Pólya 1928 ), a uvádí, že Lebesgueova míra podúrovňové množiny polynomu p stupně n je omezena z hlediska hlavního koeficientu LC (p) jak následuje:

${displaystyle {extrm {mes}} left {xin mathbb {R}, mid, | P (x) | leq aight} leq 4left ({frac {a} {2mathrm {LC} (p)}} ight) ^ {1 / n} ~, quad a> 0 ~.}$

Reference

• Remez, E. J. (1936). „Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff“. Comm. Inst. Sci. Kharkow. 13: 93–95.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bojanov, B. (květen 1993). "Elementární důkaz nerovnosti Remez". Americký matematický měsíčník. Mathematical Association of America. 100 (5): 483–485. doi:10.2307/2324304. JSTOR  2324304.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Fontes-Merz, N. (2006). "Multidimenzionální verze Turanova lemmatu". Žurnál teorie přiblížení. 140 (1): 27–30.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Nazarov, F. (1993). "Místní odhady pro exponenciální polynomy a jejich aplikace na nerovnosti typu principu neurčitosti". Algebra i Analiz. 5 (4): 3–66.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Nazarov, F. (2000). Kompletní verze Turan's Lemma pro trigonometrické polynomy na obvodu jednotky. Komplexní analýza, operátoři a související témata. 113. 239–246.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Pólya, G. (1928). „Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete“. Sitzungsberichte Akad. Berlín: 280–282.CS1 maint: ref = harv (odkaz)