Struktura reality - Reality structure

Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny s Skutečná struktura. (Diskutujte) Navrhováno od listopadu 2020.

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a struktura reality na složitý vektorový prostor PROTI je rozklad PROTI do dvou skutečných podprostorů, nazývaných nemovitý a imaginární části z PROTI:

${displaystyle V = V_ {mathbb {R}} oplus iV_ {mathbb {R}}.}$

Tady PROTI_R je skutečný podprostor PROTI, tj. podprostor o PROTI považováno za a vektorový prostor přes reálná čísla. Li PROTI má komplexní dimenze n (skutečný rozměr 2n), pak PROTI_R musí mít skutečný rozměr n.

The standardní struktura reality na vektorovém prostoru ${displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ je rozklad

${displaystyle mathbb {C} ^ {n} = mathbb {R} ^ {n} oplus i, mathbb {R} ^ {n}.}$

V přítomnosti struktury reality je každý vektor uvnitř PROTI má skutečnou část a imaginární část, z nichž každá je vektorem PROTI_R:

${displaystyle v = operatorname {Re} {v} + i, operatorname {Im} {v}}$

V tomto případě komplexní konjugát vektoru proti je definována takto:

${displaystyle {overline {v}} = operatorname {Re} {v} -i, operatorname {Im} {v}}$

Tato mapa ${displaystyle vmapsto {overline {v}}}$ je antilineární involuce, tj.

${displaystyle {overline {overline {v}}} = v, quad {overline {v + w}} = {overline {v}} + {overline {w}}, quad {ext {and}} quad {overline {alpha v}} = {overline {alpha}}, {overline {v}}.}$

Naopak, vzhledem k antilineární involuci ${displaystyle vmapsto c (v)}$ na komplexním vektorovém prostoru PROTI, je možné definovat strukturu reality na PROTI jak následuje. Nechat

${displaystyle operatorname {Re} {v} = {frac {1} {2}} vlevo (v + c (v) ight),}$

a definovat

${displaystyle V_ {mathbb {R}} = left {operatorname {Re} {v} mid vin Vight}.}$

Pak

${displaystyle V = V_ {mathbb {R}} oplus iV_ {mathbb {R}}.}$

Toto je vlastně rozklad PROTI jako vlastní prostory skutečný lineární operátor C. Vlastní čísla C jsou +1 a -1, s vlastními prostory PROTI_R a ${displaystyle i}$ PROTI_R, resp. Typicky operátor C sám o sobě, spíše než o rozkladu vlastního prostoru, který s sebou nese, se označuje jako struktura reality na PROTI.

Viz také

• Lineární komplexní struktura
• Složitění

Reference

• Penrose, Rogere; Rindler, Wolfgang (1986), Spinors a časoprostor. Sv. 2Cambridge monografie o matematické fyzice, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-25267-6, PAN  0838301