Rayleigh – Plessetova rovnice - Rayleigh–Plesset equation

Rayleigh-Plessetova rovnice se často používá při studiu kavitace bubliny, zde zobrazené, tvořící se za vrtulí

v mechanika tekutin, Rayleigh – Plessetova rovnice nebo Rovnice Besant – Rayleigh – Plesset je obyčejná diferenciální rovnice který řídí dynamika sférické bublina v nekonečném těle nestlačitelné tekutiny.^[1][2][3][4] Jeho obecná podoba se obvykle píše jako

${ displaystyle R { frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + { frac {3} {2}} doleva ({ frac {dR} {dt}} doprava) ^ {2} + { frac {4 nu _ {L}} {R}} { frac {dR} {dt}} + { frac {2 gamma} { rho _ {L} R}} + { frac { Delta P (t)} { rho _ {L}}} = 0}$

kde

${ displaystyle rho _ {L}}$ je hustota okolní kapaliny, předpokládá se, že je konstantní

${ displaystyle R (t)}$ je poloměr bubliny

${ displaystyle nu _ {L}}$ je kinematická viskozita okolní kapaliny, předpokládá se, že je konstantní

${ displaystyle gamma}$ je povrchové napětí rozhraní bublina-kapalina

${ displaystyle Delta P (t) = P _ { infty} (t) -P_ {B} (t)}$, ve kterém, ${ displaystyle P_ {B} (t)}$ je tlak uvnitř bubliny, předpokládá se, že je jednotná a ${ displaystyle P _ { infty} (t)}$ je vnější tlak nekonečně daleko od bubliny

Pokud ${ displaystyle P_ {B} (t)}$ je známo a ${ displaystyle P _ { infty} (t)}$ je dána, Rayleigh-Plessetova rovnice může být použita k řešení pro časově proměnný poloměr bubliny ${ displaystyle R (t)}$.

Rayleigh-Plessetova rovnice je odvozena z Navier-Stokesovy rovnice za předpokladu sférická symetrie.^[4]

Dějiny

Při zanedbání povrchového napětí a viskozity byla rovnice nejprve odvozena pomocí W. H. Besant ve své knize z roku 1859 s prohlášením o problému uvedeným jako Nekonečná hmota homogenní nestlačitelné tekutiny, na kterou nepůsobí žádné síly, je v klidu a sférická část tekutiny je náhle zničena; je nutné najít okamžitou změnu tlaku v kterémkoli bodě hmoty a čas, ve kterém bude dutina zaplněna, přičemž se předpokládá, že tlak v nekonečné vzdálenosti zůstane konstantní (ve skutečnosti Besant připisuje problém problémům Cambridge Senate-House z roku 1847).^[5] Zanedbal změny tlaku uvnitř bubliny a Besant předpověděl čas potřebný k naplnění dutiny

${ displaystyle { begin {aligned} t & = a left ({ frac {6 rho} {p _ { infty}}} right) ^ {1/2} int _ {0} ^ {1} { frac {z ^ {4} , dz} { sqrt {1-z ^ {6}}}} & = a left ({ frac { pi rho} {6p _ { infty} }} vpravo) ^ {1/2} { frac { Gamma (5/6)} { Gamma (4/3)}} & přibližně 0,91468a vlevo ({ frac { rho} {p _ { infty}}} right) ^ {1/2} end {zarovnáno}}}$

kde integraci provedl Lord Rayleigh v roce 1917, který odvodil rovnici z energetické bilance. Rayleigh si také uvědomil, že předpoklad konstantního tlaku uvnitř dutiny se pokazí, když se poloměr zmenší, a ukazuje, že pomocí Boyleův zákon, pokud se poloměr dutiny zmenší o faktor ${ displaystyle 4 ^ {1/3}}$, pak se tlak v blízkosti hranice dutiny zvýší než tlak okolí. Rovnice byla nejprve použita pro cestování kavitace bubliny od Milton S. Plesset v roce 1949 zahrnutím účinků povrchového napětí.^[6]

Derivace

Numerická integrace RP ekv. včetně podmínek povrchového napětí a viskozity. Zpočátku v klidu při atmosférickém tlaku s R0 = 50 um, bublina vystavená oscilačnímu tlaku na své přirozené frekvenci prochází expanzí a poté se zhroutí.

Numerická integrace RP ekv. včetně podmínek povrchového napětí a viskozity. Zpočátku v klidu při atmosférickém tlaku s R0 = 50 um, bublina vystavená poklesu tlaku prochází expanzí a poté se zhroutí.

Rayleigh-Plessetova rovnice může být zcela odvozena z první principy pomocí poloměru bubliny jako dynamického parametru.^[3] Zvažte a sférický bublina s časově závislým poloměrem ${ displaystyle R (t)}$, kde ${ displaystyle t}$ je čas. Předpokládejme, že bublina obsahuje homogenně distribuovanou páru / plyn s rovnoměrnou teplotou ${ displaystyle T_ {B} (t)}$ a tlak ${ displaystyle P_ {B} (t)}$. Vně bubliny je nekonečná doména kapaliny s konstantní hustotou ${ displaystyle rho _ {L}}$ a dynamická viskozita ${ displaystyle mu _ {L}}$. Teplota a tlak musí být daleko od bubliny ${ displaystyle T _ { infty}}$ a ${ displaystyle P _ { infty} (t)}$. Teplota ${ displaystyle T _ { infty}}$ se předpokládá, že je konstantní. V radiální vzdálenosti ${ displaystyle r}$ od středu bubliny jsou proměnlivé vlastnosti kapaliny tlak ${ displaystyle P (r, t)}$, teplota ${ displaystyle T (r, t)}$a radiálně vnější rychlost ${ displaystyle u (r, t)}$. Tyto kapalné vlastnosti jsou definovány pouze mimo bublinu, pro ${ displaystyle r geq R (t)}$.

Hromadná ochrana

Podle zachování hmoty, zákon inverzního čtverce vyžaduje radiálně vnější rychlost ${ displaystyle u (r, t)}$ musí být nepřímo úměrné druhé mocnině vzdálenosti od počátku (střed bubliny).^[6] Proto nechat ${ displaystyle F (t)}$ být nějakou funkcí času,

${ displaystyle u (r, t) = { frac {F (t)} {r ^ {2}}}}$

V případě transportu nulové hmoty přes povrch bubliny musí být rychlost na rozhraní

${ displaystyle u (R, t) = { frac {dR} {dt}} = { frac {F (t)} {R ^ {2}}}}$

což dává

${ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt}$

V případě, že dojde k hromadnému transportu, je rychlost nárůstu hmoty uvnitř bubliny dána vztahem

${ displaystyle { frac {dm_ {V}} {dt}} = rho _ {V} { frac {dV} {dt}} = rho _ {V} { frac {d (4 pi R ^ {3} / 3)} {dt}} = 4 pi rho _ {V} R ^ {2} { frac {dR} {dt}}}$

s ${ displaystyle V}$ je objem bubliny. Li ${ displaystyle u_ {L}}$ je rychlost kapaliny vzhledem k bublině při ${ displaystyle r = R}$, potom je hmotnost vstupující do bubliny dána vztahem

${ displaystyle { frac {dm_ {L}} {dt}} = rho _ {L} Au_ {L} = rho _ {L} (4 pi R ^ {2}) u_ {L}}$

s ${ displaystyle A}$ je povrchová plocha bubliny. Nyní zachováním hmoty ${ displaystyle dm_ {v} / dt = dm_ {L} / dt}$, proto ${ displaystyle u_ {L} = ( rho _ {V} / rho _ {L}) dR / dt}$. Proto

${ displaystyle u (R, t) = { frac {dR} {dt}} - u_ {L} = { frac {dR} {dt}} - { frac { rho _ {V}} { rho _ {L}}} { frac {dR} {dt}} = vlevo (1 - { frac { rho _ {V}} { rho _ {L}}} vpravo) { frac { dR} {dt}}}$

Proto

${ displaystyle F (t) = levý (1 - { frac { rho _ {V}} { rho _ {L}}} pravý) R ^ {2} { frac {dR} {dt} }}$

V mnoha případech je hustota kapaliny mnohem větší než hustota par, ${ displaystyle rho _ {L} gg rho _ {V}}$, aby ${ displaystyle F (t)}$ lze aproximovat původní formou přenosu nulové hmotnosti ${ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt}$, aby^[6]

${ displaystyle u (r, t) = { frac {F (t)} {r ^ {2}}} = { frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac { dR} {dt}}}$

Zachování hybnosti

Za předpokladu, že kapalina je a Newtonova tekutina, nestlačitelný Navier-Stokesova rovnice v sférické souřadnice pro pohyb v radiálním směru dává

${ displaystyle rho _ {L} vlevo ({ frac { částečné u} { částečné t}} + u { frac { částečné u} { částečné r}} pravé) = - { frac { částečné P} { částečné r}} + mu _ {L} vlevo [{ frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} { frac { částečné u} { částečné r}} pravé) - { frac {2u} {r ^ {2}}} pravé]}$

Střídání kinematická viskozita ${ displaystyle nu _ {L} = mu _ {L} / rho _ {L}}$ a přeskupení dává

${ displaystyle - { frac {1} { rho _ {L}}} { frac { částečné P} { částečné r}} = { frac { částečné u} { částečné t}} + u { frac { částečné u} { částečné r}} - nu _ {L} vlevo [{ frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r} } left (r ^ {2} { frac { částečné u} { částečné r}} pravé) - { frac {2u} {r ^ {2}}} vpravo]}$

přičemž střídání ${ displaystyle u (r, t)}$ z výnosů hromadné ochrany

${ displaystyle - { frac {1} { rho _ {L}}} { frac { částečné P} { částečné r}} = { frac {2R} {r ^ {2}}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} right) ^ {2} + { frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} - { frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2} = { frac { 1} {r ^ {2}}} left (2R left ({ frac {dR} {dt}} right) ^ {2} + R ^ {2} { frac {d ^ {2} R } {dt ^ {2}}} vpravo) - { frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2 }}$

Všimněte si, že viskózní podmínky se během náhrady ruší.^[6] Oddělování proměnných a integrace z hranice bubliny ${ displaystyle r = R}$ na ${ displaystyle r rightarrow infty}$ dává

${ displaystyle - { frac {1} { rho _ {L}}} int _ {P (R)} ^ {P ( infty)} dP = int _ {R} ^ { infty} left [{ frac {1} {r ^ {2}}} left (2R left ({ frac {dR} {dt}} right) ^ {2} + R ^ {2} { frac { d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} vpravo) - { frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} right) ^ {2} right] dr}$

${ displaystyle {{ frac {P (R) -P _ { infty}} { rho _ {L}}} = left [- { frac {1} {r}} left (2R left ( { frac {dR} {dt}} right) ^ {2} + R ^ {2} { frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} right) + { frac { R ^ {4}} {2r ^ {4}}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2} vpravo] _ {R} ^ { infty} = R { frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2}}}$

Okrajové podmínky

Nechat ${ displaystyle sigma _ {rr}}$ být normální stres v kapalině, která směřuje radiálně ven ze středu bubliny. Ve sférických souřadnicích pro kapalinu s konstantní hustotou a konstantní viskozitou,

${ displaystyle sigma _ {rr} = - P + 2 mu _ {L} { frac { částečné u} { částečné r}}}$

Proto na určité malé části povrchu bubliny je čistá síla na jednotku plochy působící na laminu

${ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {rr} (R) + P_ {B} - { frac {2 gamma} {R}} & = - P (R) + left.2 mu _ {L} { frac { částečné u} { částečné r}} pravé | _ {r = R} + P_ {B} - { frac {2 gamma} {R}} & = - P (R) +2 mu _ {L} { frac { částečný} { částečný r}} vlevo ({ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac { dR} {dt}} vpravo) _ {r = R} + P_ {B} - { frac {2 gamma} {R}} & = - P (R) - { frac {4 mu _ {L}} {R}} { frac {dR} {dt}} + P_ {B} - { frac {2 gamma} {R}} konec {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je povrchové napětí.^[6] Pokud nedochází k přenosu hmoty přes hranici, musí být tato síla na jednotku plochy nulová

${ displaystyle P (R) = P_ {B} - { frac {4 mu _ {L}} {R}} { frac {dR} {dt}} - { frac {2 gamma} {R }}}$

a tak se stane výsledkem zachování hybnosti

${ displaystyle { frac {P (R) -P _ { infty}} { rho _ {L}}} = { frac {P_ {B} -P _ { infty}} { rho _ {L} }} - { frac {4 mu _ {L}} { rho _ {L} R}} { frac {dR} {dt}} - { frac {2 gamma} { rho _ {L } R}} = R { frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2}}$

přičemž přeskupení a pronájem ${ displaystyle nu _ {L} = mu _ {L} / rho _ {L}}$ dává Rayleigh-Plessetovu rovnici^[6]

${ displaystyle { frac {P_ {B} (t) -P _ { infty} (t)} { rho _ {L}}} = R { frac {d ^ {2} R} {dt ^ { 2}}} + { frac {3} {2}} vlevo ({ frac {dR} {dt}} vpravo) ^ {2} + { frac {4 nu _ {L}} {R }} { frac {dR} {dt}} + { frac {2 gamma} { rho _ {L} R}}}$

Použitím tečkový zápis reprezentovat derivace s ohledem na čas, Rayleigh-Plessetova rovnice může být stručněji napsána jako

${ displaystyle { frac {P_ {B} (t) -P _ { infty} (t)} { rho _ {L}}} = R { ddot {R}} + { frac {3} { 2}} ({ dot {R}}) ^ {2} + { frac {4 nu _ {L} { dot {R}}} {R}} + { frac {2 gamma} { rho _ {L} R}}}$

Řešení

Nedávno, analytická uzavřená řešení byly nalezeny pro Rayleigh-Plessetovu rovnici jak pro prázdnou, tak pro plynem naplněnou bublinu ^[7] a byly zobecněny na N-dimenzionální případ.^[8] Byly také studovány případy, kdy je přítomno povrchové napětí v důsledku účinků kapilarity.^[8][9]

Také pro speciální případ, kdy je zanedbáno povrchové napětí a viskozita, jsou také známy analytické aproximace vysokého řádu.^[10]

Ve statickém případě se Rayleigh-Plessetova rovnice zjednoduší a získá Young-Laplaceova rovnice:

${ displaystyle P_ {B} -P _ { infty} = { frac {2 gamma} {R}}}$

Když vezmeme v úvahu pouze nekonečně periodické variace poloměru a tlaku bubliny, rovnice RP také poskytne vyjádření přirozené frekvence oscilace bublin.

Reference