Racionální vztah důsledků - Rational consequence relation

Tento článek je hlavní část není adekvátně shrnout klíčové body jeho obsahu. Zvažte prosím rozšíření potenciálního zákazníka na poskytnout přístupný přehled všech důležitých aspektů článku. (Listopad 2009)

v logika, a vztah racionálních důsledků je nemonotónní vztah následků splňující určité vlastnosti uvedené níže.

Vlastnosti

Racionální důsledkový vztah ${displaystyle vdash}$ splňuje:

REF

Reflexivita ${displaystyle heta vdash heta}$

a tzv Gabbay-Makinson pravidla:

LLE

Levá logická ekvivalence ${displaystyle {frac {heta vdash psi quad heta equiv phi} {phi vdash psi}}}$

RWE

Oslabení pravé ruky ${displaystyle {frac {heta vdash phi quad phi models psi} {heta vdash psi}}}$

CMO

Opatrný monotónnost ${displaystyle {frac {heta vdash phi quad heta vdash psi} {heta klín psi vdash phi}}}$

DIS

Logické nebo (tj. disjunkce) na levé straně ${displaystyle {frac {heta vdash psi quad phi vdash psi} {heta vee phi vdash psi}}}$

A

Logické a na pravé straně ${displaystyle {frac {heta vdash phi quad heta vdash psi} {heta vdash phi klín psi}}}$

RMO

Racionální monotónnost ${displaystyle {frac {phi ot vdash eg heta quad phi vdash psi} {phi wedge heta vdash psi}}}$^{[je zapotřebí objasnění ]}

Použití

Racionální důsledky vztah je nemonotónní a vztah ${displaystyle heta vdash phi}$ má nést význam theta obvykle znamená phi nebo phi obvykle vyplývá z theta. V tomto smyslu je pro modelování některých každodenních situací užitečnější než a vztah monotónních důsledků protože druhý vztah modeluje fakta přísnějším booleovským způsobem - něco buď následuje za všech okolností, nebo ne.

Příklad

Prohlášení „Pokud dort obsahuje cukr, chutná dobře“ implikuje pod monotónním důsledkovým vztahem tvrzení „Pokud dort obsahuje cukr a mýdlo, chutná dobře.“ Je zřejmé, že to neodpovídá našemu vlastnímu chápání dortů. Tvrdením "Pokud dort obsahuje cukr, pak to." obvykle chutná dobře" relace racionálních důsledků umožňuje realističtější model reálného světa a rozhodně z toho automaticky nevyplývá „Pokud dort obsahuje cukr a mýdlo, obvykle chutná dobře.“

Všimněte si, že pokud máme také informace „Pokud dort obsahuje cukr, pak obvykle obsahuje máslo“ pak to můžeme právně vyvodit (podle CMO) „Pokud dort obsahuje cukr a máslo, obvykle chutná dobře.“. Stejně tak při absenci prohlášení, jako je „Pokud dort obsahuje cukr, obvykle neobsahuje mýdlo„pak z toho můžeme legálně vyvodit závěr z RMO „Pokud dort obsahuje cukr a mýdlo, obvykle chutná dobře.“

Pokud se vám tento druhý závěr zdá směšný, pak je pravděpodobné, že při hodnocení platnosti tvrzení podvědomě uplatňujete své vlastní předpojaté znalosti o dortech. To znamená, že ze své zkušenosti víte, že koláče, které obsahují mýdlo, budou pravděpodobně špatně chutnat, takže do systému přidáte své vlastní znalosti, jako je „Dorty, které obsahují cukr, obvykle neobsahují mýdlo.“, i když tato znalost v nich chybí. Pokud se vám závěr zdá hloupý, můžete zvážit jeho nahrazení mýdlo se slovem vejce abyste zjistili, zda to změní vaše pocity.

Příklad

Zvažte věty:

• Mladí lidé jsou obvykle šťastní
• Uživatelé drog obvykle nejsou šťastní
• Uživatelé drog jsou obvykle mladí

Můžeme považovat za rozumné učinit závěr:

• Mladí uživatelé drog obvykle nejsou šťastní

Podle monotónního systému dedukce (samozřejmě s vynecháním slova „obvykle“) by to nebyl platný závěr, protože třetí věta by byla v rozporu s prvními dvěma. Na rozdíl od toho následuje závěr okamžitě s použitím pravidel Gabbay-Makinson: použití pravidla CMO na poslední dvě věty se získá výsledek.

Důsledky

Z výše uvedených pravidel vyplývají následující důsledky:

MP

Modus ponens ${displaystyle {frac {heta vdash phi quad heta vdash vlevo (phi ightarrow psi ight)} {heta vdash psi}}}$

MP se prokazuje pomocí pravidel AND a RWE.

OŠIDIT

Podmínění ${displaystyle {frac {heta wedge phi vdash psi} {heta vdash vlevo (phi ightarrow psi ight)}}}$

CC

Opatrný řez ${displaystyle {frac {heta vdash phi quad heta klín phi vdash psi} {heta vdash psi}}}$

Pojem Cautious Cut jednoduše zapouzdřuje operaci kondicionování, následovanou MP. V tomto smyslu se to může zdát nadbytečné, ale často se používá v důkazech, takže je užitečné mít název, který bude fungovat jako zkratka.

SCL

Nadtřída ${displaystyle {frac {heta models phi} {heta vdash phi}}}$

SCL je prokázána triviálně prostřednictvím REF a RWE.

Racionální relace důsledků prostřednictvím preferencí atomů

Nechat ${displaystyle L = {p_ {1}, ldots, p_ {n}}}$ být konečným jazykem. Atom je vzorec ve formě ${displaystyle igwedge _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {epsilon}}$ (kde ${displaystyle p ^ {1} = p}$ a ${displaystyle p ^ {- 1} = např. p}$). Všimněte si, že existuje jedinečné ocenění, díky kterému je daný atom pravdivý (a naopak každé ocenění splňuje přesně jeden atom). Atom lze tedy použít k vyjádření preference toho, co by podle nás mělo být pravdivé.

Nechat ${displaystyle At ^ {L}}$ být množina všech atomů v L. Pro ${displaystyle heta in}$ SL, definovat ${displaystyle S_ {heta} = {alfa v At ^ {L} | alfa modely ^ {SC} heta}}$.

Nechat ${displaystyle {vec {s}} = s_ {1}, ldots, s_ {m}}$ být posloupností podmnožin ${displaystyle At ^ {L}}$. Pro ${displaystyle heta}$, ${displaystyle phi}$ v SL, nechť vztah ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$ být takový, že ${displaystyle heta vdash _ {vec {s}} phi}$ pokud platí jedna z následujících možností:

1. ${displaystyle S_ {heta} cap s_ {i} = emptyset}$ pro každého ${displaystyle 1leq ileq m}$
2. ${displaystyle S_ {heta} cap s_ {i} eq emptyset}$ pro některé ${displaystyle 1leq ileq m}$ a pro nejmenší takové já, ${displaystyle S_ {heta} čepice s_ {i} subseteq S_ {phi}}$.

Pak vztah ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$ je vztah racionálních důsledků. To lze snadno ověřit přímou kontrolou, zda splňuje podmínky GM.

Myšlenka posloupnosti sad atomů spočívá v tom, že dřívější sady představují nejpravděpodobnější situace, jako je „mladí lidé obvykle dodržují zákony“ vzhledem k tomu, že pozdější soubory zohledňují méně pravděpodobné situace, jako je „mladí joyriders obvykle nedodržují zákony“.

Poznámky

1. Podle definice vztahu ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$, vztah se nezmění, pokud nahradíme ${displaystyle s_ {2}}$ s ${displaystyle s_ {2} setminus s_ {1}}$, ${displaystyle s_ {3}}$ s ${displaystyle s_ {3} setminus s_ {2} setminus s_ {1}}$ ... a ${displaystyle s_ {m}}$ s ${displaystyle s_ {m} setminus igcup _ {i = 1} ^ {m-1} s_ {i}}$. Tímto způsobem vyrobíme každý ${displaystyle s_ {i}}$ disjunktní. Naopak to nemá žádný vliv na rcr ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$ přidáme-li k následujícímu ${displaystyle s_ {i}}$ atomy z kteréhokoli z předchozích ${displaystyle s_ {i}}$.

Věta o reprezentaci

Je možné dokázat, že jakýkoli vztah racionálních důsledků v konečném jazyce je reprezentovatelný prostřednictvím výše uvedené sekvence preferencí atomů. To znamená pro jakýkoli takový vztah racionálních důsledků ${displaystyle vdash}$ existuje sekvence ${displaystyle {vec {s}} = s_ {1}, ldots, s_ {m}}$ podskupin ${displaystyle At ^ {L}}$ taková, že související rcr ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$ je stejný vztah: ${displaystyle vdash _ {vec {s}} = vdash}$

Poznámky

1. Podle výše uvedené vlastnosti ${displaystyle vdash _ {vec {s}}}$, reprezentace rcr ${displaystyle vdash}$ nemusí být jedinečný - pokud ${displaystyle s_ {i}}$ nejsou disjunktní, pak je lze provést bez změny rcr a naopak, pokud jsou disjunktní, pak každá následující sada může obsahovat kterýkoli z atomů předchozích sad beze změny rcr.

Reference

• Matematický dokument, ve kterém jsou definována pravidla GM