Kvantový graf - Quantum graph
v matematika a fyzika, a kvantový graf je lineární síťová struktura vrcholů spojených na okrajích (tj graf ), ve kterém má každá hrana délku a kde je na každé hraně položena diferenciální (nebo pseudo-diferenciální) rovnice. Příkladem může být energetická síť skládající se z elektrických vedení (hran) připojených na trafostanice (vrcholy); diferenciální rovnice by pak popisovaly napětí podél každé z linek, přičemž okrajové podmínky pro každou hranu byly zajištěny na sousedních vrcholech a zajistily, že proud přidaný přes všechny hrany se přidá k nule na každém vrcholu.
Kvantové grafy nejprve studoval Linus Pauling jako modely volných elektronů v organických molekulách ve 30. letech. Vznikají také v různých matematických kontextech [1], např. jako modelové systémy v kvantový chaos, ve studii o vlnovody, v fotonické krystaly a v Andersonova lokalizace, nebo jako omezení smršťování tenkých drátů. Kvantové grafy se staly prominentními modely v mezoskopická fyzika slouží k získání teoretického porozumění nanotechnologie. Další, jednodušší pojem kvantových grafů představili Freedman et al.[2]
Kromě skutečného řešení diferenciálních rovnic položených na kvantovém grafu pro účely konkrétních aplikací vyvstávají typické otázky ovladatelnost (jaké vstupy je třeba zajistit, aby se systém dostal do požadovaného stavu, například poskytnutí dostatečného výkonu všem domům v energetické síti) a identifikovatelnost (jak a kde je třeba něco měřit, abychom získali úplný obraz o stavu systému, například měřením tlaku ve vodovodním potrubí, abychom zjistili, zda je či není netěsné potrubí).
Metrické grafy
A metrický grafje graf skládající se ze sady vrcholů a množiny hran, kde každá hrana byl spojen s intervalem aby je souřadnice na intervalu, vrcholu odpovídá a na nebo naopak. Volba, který vrchol leží na nule, je libovolná s alternativou odpovídající změně souřadnice na hraně. Graf má přirozenou metriku: pro dva body na grafu, je nejkratší vzdálenost mezi nimi, kde se vzdálenost měří podél okrajů grafu.
Otevřené grafy: v kombinatorickém modelu grafu hrany vždy spojují dvojice vrcholů, avšak v kvantovém grafu lze uvažovat také o polo nekonečných hranách. Jedná se o hrany spojené s intervalem připojený k jedinému vrcholu v . Graf s jednou nebo více takovými otevřenými hranami se označuje jako otevřený graf.
Kvantové grafy
Kvantové grafy jsou metrické grafy vybavené diferenciálním (nebo pseudo-diferenciálním) operátorem působícím na funkce v grafu. Funkce na metrickém grafu je definován jako -tuple funkcí na intervalech. The Hilbertův prostor grafu je kde je vnitřní produkt dvou funkcí
může být nekonečný v případě otevřené hrany. Nejjednodušší příklad operátoru na metrickém grafu je Operátor Laplace. Operátor na hraně je kde je souřadnice na hraně. Aby se operátor sám přizpůsobil, musí být zadána vhodná doména. Toho je obvykle dosaženo přijetím Sobolevův prostor funkcí na okrajích grafu a určení podmínek shody na vrcholech.
Triviálním příkladem podmínek shody, díky nimž se operátor sám přizpůsobí, jsou Dirichletovy okrajové podmínky, pro každou hranu. Vlastní funkci na konečné hraně lze zapsat jako
pro celé číslo . Pokud je graf uzavřen bez nekonečných hran a délky okrajů grafu jsou racionálně nezávislé, pak je vlastní funkce podporována na jedné hraně grafu a vlastní hodnoty jsou . Dirichletovy podmínky neumožňují interakci mezi intervaly, takže spektrum je stejné jako spektrum odpojených hran.
Zajímavější podmínky přizpůsobení se vzájemným přizpůsobením, které umožňují interakci mezi okraji, jsou Neumann nebo přirozené podmínky shody. Funkce v doméně operátora je spojitá všude na grafu a součet odchozích derivací na vrcholu je nula,
kde pokud vrchol je v a -li je v .
Byly také studovány vlastnosti dalších operátorů na metrických grafech.
- Patří mezi ně obecnější třída operátorů Schrödinger,
kde je "magnetický vektorový potenciál" na okraji a je skalární potenciál.
- Dalším příkladem je Dirac operátor na grafu, který je maticovým operátorem působícím na funkce s vektorovou hodnotou, které popisují kvantovou mechaniku částic s vnitřním momentem hybnosti jedné poloviny, jako je elektron.
- Operátor Dirichlet-to-Neumann na grafu je pseudo-diferenciální operátor, který vzniká při studiu fotonické krystaly.
Věty
Všechno podmínky vzájemného přizpůsobení Laplaceova operátoru na grafu lze klasifikovat podle schématu Kostrykina a Schradera. V praxi je často pohodlnější přijmout formalismus zavedený Kuchmentem, viz[3] což automaticky poskytuje operátorovi ve variační formě.
Nechat být vrchol s hrany z ní vycházející. Pro jednoduchost zvolíme souřadnice na okrajích tak leží na pro každou okrajovou schůzku v . Pro funkci na grafu nech
Odpovídající podmínky v lze specifikovat dvojicí matic a přes lineární rovnici,
Podmínky shody definují operátora s vlastním adjunktem, pokud má maximální hodnost a
Spektrum Laplaceova operátoru na konečném grafu lze pohodlně popsat pomocí a rozptylová matice přístup zavedený Kottosem a Smilanským.[4][5] Problém vlastních čísel na hraně je,
Řešení na okraji lze tedy napsat jako lineární kombinaci rovinné vlny.
kde v časově závislé Schrödingerově rovnici je koeficient odchozí rovinné vlny při a koeficient příchozí rovinné vlny při Podmínky shody na definovat rozptylovou matici
Rozptylová matice spojuje vektory příchozích a odchozích koeficientů rovinné vlny na , .Pro podmínky vzájemného přizpůsobení je unitární. Prvek z je komplexní amplituda přechodu od směrované hrany na okraj na čem obecně závisí . Pro velkou třídu podmínek shody je však S-matice nezávislá . Například s Neumannovými odpovídajícími podmínkami