Proximální operátor - Proximal operator

v matematická optimalizace, proximální operátor je operátor spojené s vlastní, nižší-polokontinuální konvexní funkce ${ displaystyle f}$ od a Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ na ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ , a je definován:^[1]

{ displaystyle operatorname {prox} _ {f} (v) = arg min _ {x v { mathcal {X}}} vlevo (f (x) + { frac {1} {2} } | xv | _ {2} ^ {2} vpravo).}

Pro jakoukoli funkci v této třídě je minimalizátor výše uvedené pravé strany jedinečný, a proto je proximální operátor dobře definovaný. Prox funkce má několik užitečných vlastností pro optimalizaci, vyjmenovaných níže. Všimněte si, že všechny tyto položky vyžadují ${ displaystyle f}$ být správný (tj. ne shodně ${ displaystyle + infty}$ , a nikdy nepřijímejte hodnotu ${ displaystyle - infty}$ ), konvexní a nižší polokontinuální.

Funkce se říká, že je Pevně nepřijatelné -li ${ displaystyle ( forall (x, y) in { mathcal {X}} ^ {2}) quad | { text {prox}} _ {f} x - { text {prox}} _ {f} y | ^ {2} leq langle xy | { text {prox}} _ {f} x - { text {prox}} _ {f} y rangle}$ . Pevné body ${ displaystyle { text {prox}} _ {f}}$ jsou minimalizátory ${ displaystyle f}$ : ${ displaystyle {x v { mathcal {X}} | { text {prox}} _ {f} x = x } = { text {Argmin}} f}$ .

Globální konvergence k minimalizátoru je definována takto: Pokud ${ displaystyle { text {argmin}} f neq varnothing}$ , pak pro jakýkoli počáteční bod ${ displaystyle x_ {0} in { mathcal {X}}}$ rekurze ${ displaystyle ( forall n in mathbb {N}) quad x_ {n + 1} = { text {prox}} _ {f} x_ {n}}$ přináší konvergenci ${ displaystyle x_ {n} až x v { textu {argmin}} f}$ tak jako ${ displaystyle n až + infty}$ . Tato konvergence může být slabá, pokud ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ je nekonečně dimenzionální.^[2]

Často se používá v optimalizačních algoritmech spojených srozlišitelný optimalizační problémy jako např úplné odšumění variace.

Li ${ displaystyle f (x)}$ je 0- ${ displaystyle infty}$ funkce indikátoru neprázdné, uzavřené, konvexní množiny, pak je spodní polokontinuální, vlastní a konvexní a ${ displaystyle { text {prox}} _ {f}}$ je ortogonální projektor na tu sadu.

Viz také

Metoda proximálního gradientu

Reference

^ Neal Parikh a Stephen Boyd (2013). „Proximální algoritmy“ (PDF). Základy a trendy v optimalizaci. 1 (3): 123–231. Citováno 2019-01-29.
^ Bauschke, Heinz H .; Combettes, Patrick L. (2017). Konvexní analýza a teorie monotónních operátorů v Hilbertových prostorech. CMS knihy z matematiky. New York: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48311-5. ISBN 978-3-319-48310-8.

externí odkazy

The Úložiště provozovatele přiblížení: kolekce operátorů přiblížení implementovaných v Matlab a Krajta.
ProximalOperators.jl: a Julie balíček implementující proximální operátory.
ODL: knihovna Pythonu pro inverzní problémy který využívá proximální operátory.

[1] Neal Parikh a Stephen Boyd (2013). „Proximální algoritmy“ (PDF). Základy a trendy v optimalizaci. 1 (3): 123–231. Citováno 2019-01-29.

[2] Bauschke, Heinz H .; Combettes, Patrick L. (2017). Konvexní analýza a teorie monotónních operátorů v Hilbertových prostorech. CMS knihy z matematiky. New York: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48311-5. ISBN 978-3-319-48310-8.

[1]

[2]