Konstanta Prouhet – Thue – Morse - Prouhet–Thue–Morse constant - Wikipedia

v matematika, Konstanta Prouhet – Thue – Morse, pojmenovaný pro Eugène Prouhet, Axel Thue, a Marston Morse, je číslo - označené ${ displaystyle tau}$ -jehož binární expanze .01101001100101101001011001101001 ... je dán Sekvence Thue – Morse. To znamená,

{ displaystyle tau = součet _ {i = 0} ^ { infty} { frac {t_ {i}} {2 ^ {i + 1}}} = 0,412454033640 ldots}

kde ${ displaystyle t_ {i}}$ je i^th prvek sekvence Prouhet – Thue – Morse.

Generující série pro ${ displaystyle t_ {i}}$ darováno

{ displaystyle tau (x) = součet _ {i = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {t_ {i}} , x ^ {i} = { frac {1} {1- x}} - 2 sum _ {i = 0} ^ { infty} t_ {i} , x ^ {i}}

a lze jej vyjádřit jako

{ displaystyle tau (x) = prod _ {n = 0} ^ { infty} (1-x ^ {2 ^ {n}}).}

Toto je produkt Frobeniovy polynomy, a zobecňuje se tak na libovolné pole.

Ukázalo se, že konstanta Prouhet – Thue – Morse je transcendentální podle Kurt Mahler v roce 1929.^[1]

Viz také

^ Mahler, Kurt (1929). „Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen“. Matematika. Annalen. 101: 342–366. doi:10.1007 / bf01454845. JFM 55.0115.01.

Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatické sekvence: Teorie, Aplikace, Zobecnění. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015..
Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, Anne (eds.). Substituce v dynamice, aritmetice a kombinatorice. Přednášky z matematiky. 1794. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.

OEIS sekvence A010060 (sekvence Thue-Morse)
Všudypřítomná sekvence Prouhet-Thue-Morse, John-Paull Allouche a Jeffrey Shallit, (nedatováno, 2004 nebo dřívější) poskytuje mnoho aplikací a historii
Vstup PlanetMath

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.