Konstanta Komornik – Loreti - Komornik–Loreti constant - Wikipedia

V matematické teorii nestandardní poziční číselné systémy, Konstanta Komornik – Loreti je matematická konstanta což představuje nejmenší základnu q pro které má číslo 1 jedinečné zastoupení, nazývané jeho q-rozvoj. Konstanta je pojmenována po Vilmos Komornik a Paola Loreti, který ji definoval v roce 1998.^[1]

Definice

Vzhledem k reálnému číslu q > 1, série

${ displaystyle x = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} q ^ {- n}}$

se nazývá q-expanze, nebo ${ displaystyle beta}$-expanze, kladného reálného čísla X pokud pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$, ${ displaystyle 0 leq a_ {n} leq lfloor q rfloor}$, kde ${ displaystyle lfloor q rfloor}$ je funkce podlahy a ${ displaystyle a_ {n}}$ nemusí být celé číslo. Jakékoli skutečné číslo ${ displaystyle x}$ takhle ${ Displaystyle 0 leq x leq q lfloor q rfloor / (q-1)}$ má takové rozšíření, jak lze najít pomocí chamtivý algoritmus.

Zvláštní případ ${ displaystyle x = 1}$, ${ displaystyle a_ {0} = 0}$, a ${ displaystyle a_ {n} = 0}$ nebo 1 se někdy nazývá a ${ displaystyle q}$-rozvoj. ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ dává jediný 2-vývoj. Téměř pro všechny ${ displaystyle 1$, existuje nekonečné množství různých ${ displaystyle q}$-vývoj. Ještě překvapivější však je, že existují výjimečné ${ displaystyle q v (1,2)}$ pro které existuje pouze jeden ${ displaystyle q}$-rozvoj. Kromě toho existuje nejmenší počet ${ displaystyle 1$ známá jako konstanta Komornik – Loreti, pro kterou existuje jedinečná ${ displaystyle q}$-rozvoj.^[2]

Hodnota

Konstanta Komornik – Loreti je hodnota ${ displaystyle q}$ takhle

${ displaystyle 1 = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t_ {k}} {q ^ {k}}}}$

kde ${ displaystyle t_ {k}}$ je Sekvence Thue – Morse, tj., ${ displaystyle t_ {k}}$ je parita počtu 1 v binární reprezentaci ${ displaystyle k}$. Má přibližnou hodnotu

${ displaystyle q = 1,787231650 ldots. ,}$^[3]

Konstanta ${ displaystyle q}$ je také jedinečný pozitivní skutečný kořen

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ { infty} left (1 - { frac {1} {q ^ {2 ^ {k}}}} right) = left (1 - { frac {1} {q}} vpravo) ^ {- 1} -2.}$

Tato konstanta je transcendentální.^[4]

Viz také

• Euler-Mascheroniho konstanta
• Fibonacciho slovo
• Golay – Rudin – Shapiro sekvence
• Konstanta Prouhet – Thue – Morse

Reference