Důkazy zahrnující sčítání přirozených čísel - Proofs involving the addition of natural numbers

Tento článek obsahuje matematické důkazy pro některé vlastnosti přidání z přirozená čísla: aditivní identita, komutativita a asociativita. Tyto důkazy jsou použity v článku Sčítání přirozených čísel.

Definice

Tento článek bude používat Peanoovy axiomy pro definice sčítání přirozených čísel a nástupnická funkce S (a). Zejména:

A1:	A + 0 = A
A2:	A + S (b) = S (A + b)

Pro důkaz komutativity je užitečné definovat další přirozené číslo úzce související s nástupnickou funkcí, jmenovitě „1“. Definujeme 1 jako nástupce 0, jinými slovy

1 = S (0).

Všimněte si, že pro všechna přirozená čísla A,

	S (A)
=	S (A + 0)	[podle A1]
=	A + S (0)	[podle A2]
=	A + 1	[podle Def. ze dne 1]

Důkaz asociativity

Dokazujeme to asociativita nejprve opravením přirozených čísel A a b a přihlašování indukce na přirozeném čísle C.

Pro základní případ C = 0,

(A+b)+0 = A+b = A+(b+0)

Každá rovnice následuje podle definice [A1]; první s A + b, druhý s b.

Nyní pro indukci. Předpokládáme indukční hypotézu, konkrétně předpokládáme, že pro nějaké přirozené číslo C,

(A+b)+C = A+(b+C)

Pak to následuje,

	(A + b) + S(C)
=	S((A + b) + C)	[podle A2]
=	S(A + (b + C))	[podle indukční hypotézy]
=	A + S(b + C)	[podle A2]
=	A + (b + S(C))	[podle A2]

Jinými slovy platí indukční hypotéza S(C). Proto indukce na C je kompletní.

Důkaz prvku identity

Definice [A1] uvádí přímo, že 0 je a správná identita Dokazujeme, že 0 je a levá identita indukcí přirozeného čísla A.

Pro základní případ A = 0, 0 + 0 = 0 podle definice [A1]. Nyní předpokládáme indukční hypotézu, že 0 + A = A.Pak

	0 + S(A)
=	S(0 + A)	[podle A2]
=	S(A)	[podle indukční hypotézy]

Tím je indukce dokončena A.

Důkaz komutativity

Dokazujeme to komutativita (A + b = b + A) uplatněním indukce na přirozené číslo b. Nejprve dokážeme základní případy b = 0 a b = S(0) = 1 (tj. Dokazujeme, že 0 a 1 dojíždí se vším).

Základní případ b = 0 vyplývá okamžitě z vlastnosti prvku identity (0 je aditivní identita ), který byl prokázán výše:A + 0 = A = 0 + A.

Dále dokážeme základní případ b = 1, že 1 dojíždí se vším, tj. Pro všechna přirozená čísla A, my máme A + 1 = 1 + A. Dokážeme to indukcí dne A (indukční důkaz v rámci indukčního důkazu). Dokázali jsme, že 0 dojíždí se vším, takže zejména 0 dojíždí s 1: pro A = 0, máme 0 + 1 = 1 + 0. Nyní předpokládejme A + 1 = 1 + A. Pak

	S(A) + 1
=	S(A) + S(0)	[podle Def. ze dne 1]
=	S(S(A) + 0)	[podle A2]
=	S((A + 1) + 0)	[jak je znázorněno výše ]
=	S(A + 1)	[podle A1]
=	S(1 + A)	[podle indukční hypotézy]
=	1 + S(A)	[podle A2]

Tím je indukce dokončena A, a tak jsme prokázali základní případ b = 1. Nyní předpokládejme, že pro všechna přirozená čísla A, my máme A + b = b + A. Musíme to ukázat pro všechna přirozená čísla A, my máme A + S(b) = S(b) + A. My máme

	A + S(b)
=	A + (b + 1)	[jak je znázorněno výše ]
=	(A + b) + 1	[podle asociativity]
=	(b + A) + 1	[podle indukční hypotézy]
=	b + (A + 1)	[podle asociativity]
=	b + (1 + A)	[podle základního případu b = 1]
=	(b + 1) + A	[podle asociativity]
=	S(b) + A	[jak je znázorněno výše ]

Tím je indukce dokončena b.

Viz také

Reference

Edmund Landau „Základy analýzy, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X.