Projektivní vektorové pole - Projective vector field

A projektivní vektorové pole (projektivní) je hladký vektorové pole na semifinále Riemannovo potrubí (např. vesmírný čas ) ${ displaystyle M}$ jehož tok zachovává geodetické struktura ${ displaystyle M}$ bez nutnosti zachování afinní parametr jakékoli geodetické. Intuitivněji tok projektivních map plynule mapuje geodetiku do geodetik bez zachování afinního parametru.

Rozklad

Při řešení vektorového pole ${ displaystyle X}$ na semifinále Riemannovo potrubí (př. v obecná relativita ), je často užitečné rozložit kovarianční derivace do symetrických a zkosených symetrických částí:

${ displaystyle X_ {a; b} = { frac {1} {2}} h_ {ab} + F_ {ab}}$

kde

${ displaystyle h_ {ab} = ({ mathcal {L}} _ {X} g) _ {ab} = X_ {a; b} + X_ {b; a}}$

a

${ displaystyle F_ {ab} = { frac {1} {2}} (X_ {a; b} -X_ {b; a})}$

Všimněte si, že ${ displaystyle X_ {a}}$ jsou kovarianční komponenty ${ displaystyle X}$.

Rovnocenné podmínky

Matematicky podmínka pro vektorové pole ${ displaystyle X}$ být projektivní je ekvivalentní existenci a jeden formulář ${ displaystyle psi}$ uspokojující

${ displaystyle X_ {a; bc} , = R_ {abcd} X ^ {d} + 2g_ {a (b} psi _ {c)}}$

což odpovídá

${ displaystyle h_ {ab; c} , = 2g_ {ab} psi _ {c} + g_ {ac} psi _ {b} + g_ {bc} psi _ {a}}$

Sada všech globálních projektivních vektorových polí přes připojené nebo kompaktní potrubí tvoří konečně-dimenzionální Lež algebra označeno ${ displaystyle P (M)}$ (dále jen projektivní algebra) a splňuje podmínku pro připojená potrubí: ${ displaystyle dim P (M) leq n (n + 2)}$. Zde je projektivní vektorové pole jednoznačně určeno zadáním hodnot ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle nabla X}$ a ${ displaystyle nabla nabla X}$ (ekvivalentně s uvedením ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle h}$, ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle psi}$) v jakémkoli okamžiku ${ displaystyle M}$. (U nepřipojených rozdělovačů je třeba zadat 3 v jednom bodě na připojenou komponentu.) Projektivy také splňují vlastnosti:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = delta ^ {a} {} _ {d} psi _ {b; c} - delta ^ {a} {} _ {c} psi _ {b; d}}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R_ {ab} = - 3 psi _ {a; b}}$

Subalgebry

Může se vyskytnout několik důležitých zvláštních případů projektivních vektorových polí a tvoří Lieovy subalgebry ${ displaystyle P (M)}$. Tyto subalgebry jsou užitečné například při klasifikaci časoprostorů v obecné relativitě.

Afinní algebra

Afinní vektorová pole (afinní) uspokojit ${ displaystyle nabla h = 0}$ (ekvivalentně, ${ displaystyle psi = 0}$) a tedy každý vztah je projektivní. Afiny zachovávají geodetickou strukturu polořadovky Riem. potrubí (číst časoprostor) a zároveň zachovat afinní parametr. Sada všech afinit na ${ displaystyle M}$ tvoří a Lež subalgebra z ${ displaystyle P (M)}$ označeno ${ displaystyle A (M)}$ (dále jen afinní algebra) a vyhovuje pro připojené M, ${ displaystyle dim A (M) leq n (n + 1)}$. Afinní vektor je jednoznačně určen zadáním hodnot vektorového pole a jeho první kovariantní derivace (ekvivalentně se zadáním ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle F}$) v jakémkoli okamžiku ${ displaystyle M}$. Affiny také zachovávají Riemannovy, Ricciho a Weylovy tenzory, tj.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = 0}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} R_ {ab} = 0}$, ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} C ^ {a} {} _ {bcd} = 0}$

Homotetická algebra

Homotetická vektorová pole (homotheties) zachovat metriku až do konstantního faktoru, tj. ${ displaystyle h = { mathcal {L}} _ {X} g = 2cg}$. Tak jako ${ displaystyle nabla h = 0}$, každá homothety je afinita a soubor všech homotheties na ${ displaystyle M}$ tvoří Lieovu subalgebru ${ displaystyle A (M)}$ označeno ${ displaystyle H (M)}$ (dále jen homotetická algebra) a vyhovuje pro připojené M

${ displaystyle dim H (M) leq { frac {1} {2}} n (n + 1) +1}$.

Homotetické vektorové pole je jednoznačně určeno zadáním hodnot vektorového pole a jeho první kovariantní derivace (ekvivalentně se zadáním ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle c}$) v kterémkoli bodě potrubí.

Zabíjení algebry

Zabíjení vektorových polí (Zabíjení) zachovat metriku, tj. ${ displaystyle h = { mathcal {L}} _ {X} g = 0}$. Brát ${ displaystyle c = 0}$ v definující vlastnosti homothety je vidět, že každý Killing je homothety (a tudíž afinní) a množina všech Killingových vektorových polí na ${ displaystyle M}$ tvoří Lieovu subalgebru ${ displaystyle H (M)}$ označeno ${ displaystyle K (M)}$ (dále jen Zabíjení algebry) a vyhovuje pro připojené M

${ displaystyle dim K (M) leq { frac {1} {2}} n (n + 1)}$.

Zabití vektorového pole je jednoznačně určeno zadáním hodnot vektorového pole a jeho první kovarianční derivace (ekvivalentně se zadáním ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle F}$) kdykoli (pro každou připojenou součást) z ${ displaystyle M}$.

Aplikace

Obecně platí, že mnoho časoprostorů má určité symetrie, které lze charakterizovat vektorovými poli v časoprostoru. Například, Minkowského prostor ${ displaystyle { mathbb {M}}}$ připouští maximální projektivní algebru, tj. ${ displaystyle dim P ({ mathbb {M}}) = 24}$.

Mnoho dalších aplikací vektorových polí symetrie v obecné relativitě lze nalézt v Hall (2004), který také obsahuje rozsáhlou bibliografii včetně mnoha výzkumných prací v oblasti symetrie v obecné relativitě.

Reference

• Chudák, W. (1981). Diferenciální geometrické struktury. New York: McGraw Hill. ISBN  0-07-050435-0.
• Yano, K. (1970). Integrální vzorce v Riemannově geometrii. New York: Marcel Dekker. ISBN ???.
• Hall, Graham (2004). Symetrie a struktura zakřivení v obecné relativitě (World Scientific Lecture Notes in Physics). Singapur: World Scientific Pub. ISBN  981-02-1051-5.