Produktová metrika - Product metric

v matematika, a metrika produktu je metrický na kartézský součin konečně mnoha metrické prostory ${displaystyle (X_ {1}, d_ {X_ {1}}), ldots, (X_ {n}, d_ {X_ {n}})}$ který metrizuje topologii produktu. Nejvýznamnější metriky produktu jsou p metriky produktu za pevnou ${displaystyle pin [1, infty]}$ : Je definován jako p norma z n- vektor vzdáleností měřených v n podprostory:

${displaystyle d_ {p} ((x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n})) = | left (d_ {X_ {1}} (x_ {1 }, y_ {1}), ldots, d_ {X_ {n}} (x_ {n}, y_ {n}) ight) | _ {p}}$

Pro ${displaystyle p = infty}$ tato metrika se také nazývá sup metrika:

${displaystyle d_ {infty} ((x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n})): = max left {d_ {X_ {1}} (x_ { 1}, y_ {1}), ldots, d_ {X_ {n}} (x_ {n}, y_ {n}) ight}.}$

Volba normy

Pro Euklidovské prostory pomocí L₂ norma vede k euklidovské metrice v produktovém prostoru; jakákoli jiná volba p povede k topologicky ekvivalentnímu metrickému prostoru. V kategorie metrických prostorů (s Lipschitzovými mapami, které mají Lipschitzovu konstantu 1), produkt (ve smyslu teorie kategorie) používá sup metriku.

Případ Riemannovských potrubí

Pro Riemannovy rozdělovače ${displaystyle (M_ {1}, g_ {1})}$ a ${displaystyle (M_ {2}, g_ {2})}$, metrika produktu ${displaystyle g = g_ {1} oplus g_ {2}}$ na ${displaystyle M_ {1} je M_ {2}}$ je definováno

${displaystyle g (X_ {1} + X_ {2}, Y_ {1} + Y_ {2}) = g_ {1} (X_ {1}, Y_ {1}) + g_ {2} (X_ {2} , Y_ {2})}$

pro ${displaystyle X_ {i}, Y_ {i} v T_ {p_ {i}} M_ {i}}$ podle přirozené identifikace ${displaystyle T _ {(p_ {1}, p_ {2})} (M_ {1} imes M_ {2}) = T_ {p_ {1}} M_ {1} oplus T_ {p_ {2}} M_ {2 }}$.

Reference

• Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2009), Encyklopedie vzdáleností Springer-Verlag, str. 83.
• Lee, John (1997), Riemannovy rozdělovačeSpringer Verlag, ISBN  978-0-387-98322-6.