Pregeometrie (teorie modelů) - Pregeometry (model theory)
Pregeometriea v plném rozsahu kombinatorická pregeometrie, jsou v podstatě synonyma pro „matroid ". Byly představeny Gian-Carlo Rota s úmyslem poskytnout méně „nevýslovně kakofonní“ alternativní výraz. Také termín kombinatorická geometrie, někdy zkráceně geometrie, měl nahradit „jednoduchý matroid“. Tyto pojmy se nyní zřídka používají při studiu matroidů.
V oboru matematická logika volala teorie modelů V diskusi o fenoménech nezávislosti se používají nekonečné matice, které se nazývají „pregeometrie“ (a „geometrie“, jsou-li to jednoduché matroidy).
Ukazuje se, že mnoho základních pojmů lineární algebra - uzavření, nezávislost, podprostor, základ, dimenze - jsou zachovány v rámci abstraktních geometrií.
Studie o tom, jak pregeometrie, geometrie a abstrakt operátoři uzavírání ovlivnit strukturu první objednávka modely se nazývá teorie geometrické stability.
Definice
Pregeometrie a geometrie
A kombinatorická pregeometrie (také známý jako konečný matroid), je struktura druhého řádu: , kde (volal mapa uzavření) splňuje následující axiomy. Pro všechny a :
- je homomorfismus v kategorii dílčí objednávky (monotónní zvýšení), a dominuje (Tj. naznačuje .) a je idempotentní.
- Konečný charakter: Pro každého tam je nějaká konečná s .
- Princip výměny: Pokud , pak (a tedy monotónnost a idempotence ve skutečnosti ).
A geometrie je pregeometrie, ve které uzávěr singletonů je singleton a uzavření prázdné množiny je prázdná množina.
Nezávislost, základy a dimenze
Dané sady , je nezávislý nad -li pro všechny .
Sada je základ pro přes pokud je nezávislý nad a .
Protože pregeometrie vyhovuje Steinitz směňuje majetek všechny základy jsou stejné mohutnosti, proto je definice dimenze z přes tak jako nemá dvojznačnost.
Sady jsou nezávislé -li [nekonzistentní ] kdykoli je konečná podmnožina . Všimněte si, že tento vztah je symetrický.
V minimálních množinách nad stabilními teoriemi se vztah nezávislosti shoduje s představou rozvětvení nezávislosti.
Automorfismus geometrie
A geometrie automorfismu geometrie je bijekce takhle pro všechny .
Pregeometrie se říká, že je homogenní pokud je pro některé uzavřeno a jakékoli dva prvky existuje automorfismus které mapy na a opravy bodově.
Přidružená geometrie a lokalizace
Vzhledem k pregeometrii své přidružená geometrie (někdy se v literatuře označuje jako kanonická geometrie) je geometrie kde
- , a
- Pro všechny ,
Je snadné vidět, že přidružená geometrie homogenní pregeometrie je homogenní.
Dáno the lokalizace z je geometrie kde .
Druhy pregeometrií
Nechat být pregeometrie, pak se říká, že je:
- triviální (nebo degenerovat) pokud .
- modulární pokud existují dvě uzavřené konečné dimenzionální množiny uspokojit rovnici (nebo ekvivalentně to je nezávislý na přes ).
- lokálně modulární pokud má lokalizaci na singletonu, který je modulární.
- (lokálně) projektivní pokud je netriviální a (místně) modulární.
- místně konečné pokud jsou uzávěry konečných množin konečné.
Trivialita, modularita a lokální modularita přecházejí na přidruženou geometrii a jsou zachovány pod lokalizací.
Li je lokálně modulární homogenní pregeometrie a pak lokalizace v je modulární.
Geometrie je modulární právě tehdy, kdykoli , , a pak .
Příklady
Triviální příklad
Li je libovolná množina, kterou můžeme definovat . Tato pregeometrie je triviální, homogenní, lokálně konečná geometrie.
Vektorové prostory a projektivní prostory
Nechat být pole (dělící kruh vlastně stačí) a nechat být -dimenzionální vektorový prostor přes . Pak je pregeometrie, kde uzávěry množin jsou definovány jako jejich rozpětí.
Tato pregeometrie je homogenní a modulární. Vektorové prostory jsou považovány za prototypický příklad modularity.
je lokálně konečný právě tehdy je konečný.
není geometrie, protože uzavření jakéhokoli netriviálního vektoru je minimálním podprostorem .
Přidružená geometrie a -dimenzionální vektorový prostor přes je -dimenzionální projektivní prostor přes . Je snadné vidět, že tato pregeometrie je projektivní geometrie.
Afinní prostory
Nechat být -dimenzionální afinní prostor přes pole . Vzhledem k tomu, že soubor definuje jeho uzavření jako jeho afinní trup (tj. nejmenší afinní podprostor, který jej obsahuje).
To tvoří homogenní -dimenzionální geometrie.
Afinní prostor není modulární (například pokud a být paralelní linie, pak vzorec v definici modularity selže) Je však snadné zkontrolovat, zda jsou všechny lokalizace modulární.
Algebraicky uzavřená pole
Nechat být algebraicky uzavřené pole s a definovat uzavření sady jako její algebraické uzavření.
Zatímco vektorové prostory jsou modulární a afinní prostory jsou „téměř“ modulární (tj. Všude lokálně modulární), algebraicky uzavřená pole jsou příklady druhé končetiny, přičemž nejsou ani lokálně modulární (tj. Žádná z lokalizací není modulární).
Reference
H. H. Crapo a G.-C. Rota (1970), Na základech kombinatorické teorie: kombinatorické geometrie. M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts.
Pillay, Anand (1996), Teorie geometrické stability. Oxford Logic Guides. Oxford University Press.