Věta o bagelu máku - Poppy-seed bagel theorem

v fyzika, mák bagel věta týká se interagujících částic (např. elektrony ) omezen na ohraničený povrch (nebo tělo) ${ displaystyle A}$ když se částice navzájem odpuzují po párech s velikostí, která je úměrná inverzní vzdálenosti mezi nimi, zvýšené na nějakou pozitivní sílu ${ displaystyle s}$ . To zahrnuje zejména: Coulombův zákon pozorováno v Elektrostatika a Rieszovy potenciály intenzivně studoval v Teorie potenciálu. Pro ${ displaystyle N}$ takové částice, rovnovážný (stabilní) stav, který závisí na parametru ${ displaystyle s}$ , je dosaženo, když je přidružen energie systému je minimální (tzv. generalizovaný Thomsonův problém ). U velkého počtu bodů poskytují tyto rovnovážné konfigurace diskretizaci ${ displaystyle A}$ které mohou nebo nemusí být téměř jednotné s ohledem na plocha povrchu (nebo objem ) z ${ displaystyle A}$ . The Věta o bagelu máku tvrdí, že pro velkou třídu sad ${ displaystyle A}$ , vlastnost uniformity platí, když je parametr ${ displaystyle s}$ je větší nebo roven rozměru sady ${ displaystyle A}$ .^[1] Například když jsou body („mák“) omezeny na a torus vložený do 3-dimenzí (nebo „povrchu bagelu“), lze vytvořit velké množství bodů, které jsou téměř rovnoměrně rozloženy na povrchu, a to zavedením odporu úměrného inverzní čtvercové vzdálenosti mezi body nebo silnějšího odporu ( ${ displaystyle s geq 2}$ ). Z kulinářského hlediska, vytvořit téměř dokonalý mák bagel, kde kousnutí stejné velikosti kdekoli na bagel by obsahovalo v podstatě stejný počet máku, působí na semena alespoň nepřímou čtvercovou vzdáleností odpuzující sílu.

Formální definice

Pro parametr ${ displaystyle s> 0}$ a ${ displaystyle N}$ -bodová sada ${ displaystyle omega _ {N} = {x_ {1}, ldots, x_ {N} } podmnožina mathbb {R} ^ {p}}$ , ${ displaystyle s}$ -energie ${ displaystyle omega _ {N}}$ je definována takto:

{ displaystyle E_ {s} ( omega _ {N}): = sum _ {i = 1, ldots, N} sum _ { stackrel {j = 1, ldots, N} {j not = i}} { frac {1} {| x_ {i} -x_ {j} | ^ {s}}}}

Pro kompaktní sada

{ displaystyle A}

definujeme jeho minimální ${ displaystyle N}$ -směřovat ${ displaystyle s}$ -energie tak jako

{ displaystyle { mathcal {E}} _ {s} (A, N): = min E_ {s} ( omega _ {N}),}

Kde minimální je převzato všemi

{ displaystyle N}

-bodové podmnožiny

{ displaystyle A}

; tj.,

{ displaystyle omega _ {N} podmnožina A}

. Konfigurace

{ displaystyle omega _ {N}}

kteří dosahují tohoto minima, se nazývají ${ displaystyle N}$ -směřovat ${ displaystyle s}$ - rovnovážné konfigurace.

Veta mák bagel pro těla

Zvažujeme kompaktní sady ${ displaystyle A podmnožina mathbb {R} ^ {p}}$ s Lebesgueovo opatření ${ displaystyle lambda (A)> 0}$ a ${ displaystyle s geqslant p}$ . Pro každého ${ displaystyle N geqslant 2}$ opravit ${ displaystyle N}$ -směřovat ${ displaystyle s}$ - rovnovážná konfigurace ${ displaystyle omega _ {N} ^ {*} = {x_ {1, N}, ldots, x_ {N, N} }}$ . Soubor

{ displaystyle mu _ {N}: = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1, ldots, N} delta _ {x_ {i, N}},}

kde

{ displaystyle delta _ {x}}

je hmotnost jednotkového bodu v bodě

{ displaystyle x}

. Za těchto předpokladů ve smyslu slabá konvergence opatření,

{ displaystyle mu _ {N} { stackrel {*} { rightarrow}} mu,}

kde

{ displaystyle mu}

je Lebesgueovo opatření omezeno na

{ displaystyle A}

; tj.,

{ displaystyle mu (B) = lambda (A cap B) / lambda (A)}

.Je navíc pravda, že

{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} (A, N)} {N ^ {1 + s / p}}} = { frac {C_ {s, p}} { lambda (A) ^ {s / p}}},}

kde konstanta

{ displaystyle C_ {s, p}}

nezávisí na sadě

{ displaystyle A}

a proto,

{ displaystyle C_ {s, p} = lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} ([0,1] ^ {p}, N)} { N ^ {1 + s / p}}},}

kde

{ displaystyle [0,1] ^ {p}}

je jednotková kostka v

{ displaystyle mathbb {R} ^ {p}}

.

Veta mák bagel pro potrubí

Téměř minimální

{ displaystyle s}

-konfigurace energie 1000 bodů na torusu (

{ displaystyle d = 2}

)

{ displaystyle s = 0,01

{ displaystyle s = 1

{ displaystyle s = 2 = d}

Zvažte a hladký ${ displaystyle d}$ -rozměrné potrubí ${ displaystyle A}$ vloženo do ${ displaystyle mathbb {R} ^ {p}}$ a označit jeho povrchová míra podle ${ displaystyle sigma}$ . Předpokládáme ${ displaystyle sigma (A)> 0}$ . Převzít ${ displaystyle s geqslant d}$ Stejně jako dříve, pro každého ${ displaystyle N geqslant 2}$ opravit ${ displaystyle N}$ -směřovat ${ displaystyle s}$ - rovnovážná konfigurace ${ displaystyle omega _ {N} ^ {*} = {x_ {1, N}, ldots, x_ {N, N} }}$ a nastavit

{ displaystyle mu _ {N}: = { frac {1} {N}} suma _ {i = 1, ldots, N} delta _ {x_ {i, N}}.}

Pak,^[2]^[3] ve smyslu slabá konvergence opatření,

{ displaystyle mu _ {N} { stackrel {*} { rightarrow}} mu,}

kde

{ displaystyle mu (B) = sigma (A cap B) / sigma (A)}

. Li

{ displaystyle H ^ {d}}

je

{ displaystyle d}

-dimenzionální Hausdorffovo opatření, pak^[2]^[4]

{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} (A, N)} {N ^ {1 + s / d}}} = 2 ^ { s} alpha _ {d} ^ {- s / d} cdot { frac {C_ {s, d}} {(H ^ {d} (A)) ^ {s / d}}},}

kde

{ displaystyle alpha _ {d} = pi ^ {d / 2} / gama (1 + d / 2)}

je objem d-míče.

Konstanta ${ displaystyle C_ {s, p}}$

Pro ${ displaystyle p = 1}$ , je známo^[4] že ${ displaystyle C_ {s, 1} = 2 zeta (s)}$ , kde ${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta. Následující spojení mezi konstantou ${ displaystyle C_ {s, p}}$ a problém Balení koule je známo:^[5]

{ displaystyle lim _ {s to infty} (C_ {s, p}) ^ {1 / s} = { frac {1} {s}} vlevo ({ frac { alpha _ {p }} { Delta _ {p}}} vpravo) ^ {1 / p},}

kde

{ displaystyle alpha _ {p}}

je objem p-míče a

{ displaystyle Delta _ {p} = sup rho ({ mathcal {P}}),}

Kde supremum je převzata všemi rodinami

{ displaystyle { mathcal {P}}}

nepřekrývající se jednotkové koule takové, že limit

{ displaystyle rho ({ mathcal {P}}) = lim _ {r to infty} { frac { lambda left ([- r, r] ^ {p} cap bigcup _ { B in { mathcal {P}}} B vpravo)} {(2r) ^ {p}}}}

existuje.

Viz také

Reference

^ Hardin, D. P .; Saff, E. B. Diskretizující potrubí prostřednictvím bodů minimální energie. Oznámení Amer. Matematika. Soc. 51 (2004), č. 10, 1186–1194
^ ^A ^b Hardin, D. P .; Saff, E. B. Minimální konfigurace Rieszových energetických bodů pro usměrnitelné d-dimenzionální potrubí. Adv. Matematika. 193 (2005), č. 1, 174–204.
^ Borodachov, S. V .; Hardin, D. P .; Saff, E. B. Asymptotika pro diskrétní vážené minimální Rieszovy energetické problémy na usměrnitelných sadách. Trans. Amer. Matematika. Soc. 360 (2008), č. 3, 1559–1580.
^ ^A ^b Martínez-Finkelshtein, A .; Maymeskul, V .; Rakhmanov, E. A .; Saff, E. B. Asymptotika pro minimální diskrétní Rieszovu energii na křivkách v Rd. Umět. J. Math. 56 (2004), č. 3, 529–552
^ Borodachov, S. V .; Hardin, D. P .; Saff, E. B. Asymptotics of Best-Packing on Rectifiable Sets, Proc. Amer. Matematika. Soc., Sv. 135 (2007), str. 2369-2380.

[1] Hardin, D. P .; Saff, E. B. Diskretizující potrubí prostřednictvím bodů minimální energie. Oznámení Amer. Matematika. Soc. 51 (2004), č. 10, 1186–1194

[advances-2] A ^b Hardin, D. P .; Saff, E. B. Minimální konfigurace Rieszových energetických bodů pro usměrnitelné d-dimenzionální potrubí. Adv. Matematika. 193 (2005), č. 1, 174–204.

[3] Borodachov, S. V .; Hardin, D. P .; Saff, E. B. Asymptotika pro diskrétní vážené minimální Rieszovy energetické problémy na usměrnitelných sadách. Trans. Amer. Matematika. Soc. 360 (2008), č. 3, 1559–1580.

[mart-4] A ^b Martínez-Finkelshtein, A .; Maymeskul, V .; Rakhmanov, E. A .; Saff, E. B. Asymptotika pro minimální diskrétní Rieszovu energii na křivkách v Rd. Umět. J. Math. 56 (2004), č. 3, 529–552

[5] Borodachov, S. V .; Hardin, D. P .; Saff, E. B. Asymptotics of Best-Packing on Rectifiable Sets, Proc. Amer. Matematika. Soc., Sv. 135 (2007), str. 2369-2380.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]