Polyfázová matice - Polyphase matrix

v zpracování signálu, a vícefázová matice je matice, jejíž prvky jsou filtrační masky. Představuje a banka filtrů jak se používá v subpásmové kodéry alias diskrétní vlnkové transformace.^[1]

Li ${displaystyle scriptstyle h ,, g}$ jsou dva filtry, pak jedna úroveň tradiční vlnková transformace mapuje vstupní signál ${displaystyle scriptstyle a_ {0}}$ na dva výstupní signály ${displaystyle scriptstyle a_ {1} ,, d_ {1}}$, každá z poloviční délky:

${displaystyle {egin {aligned} a_ {1} & = (hcdot a_ {0}) downarrow 2 d_ {1} & = (gcdot a_ {0}) downarrow 2end {aligned}}}$

Všimněte si, že tečka znamená polynomiální násobení; tj., konvoluce a ${displaystyle scriptstyle downarrow}$ prostředek převzorkování.

Pokud je výše uvedený vzorec implementován přímo, vypočítáte hodnoty, které jsou následně vyprázdněny vzorkováním dolů. Jejich výpočtu se můžete vyhnout rozdělením filtrů a signálu na sudé a liché indexované hodnoty před vlnkovou transformací:

${displaystyle {egin {aligned} h_ {mbox {e}} & = hdownarrow 2 & a_ {0, {mbox {e}}} & = a_ {0} downarrow 2 h_ {mbox {o}} & = (hleftarrow 1) downarrow 2 & a_ {0, {mbox {o}}} & = (a_ {0} leftarrow 1) downarrow 2end {aligned}}}$

Šipky ${displaystyle scriptstyle leftarrow}$ a ${displaystyle scriptstyle ightarrow}$ označují řazení vlevo a vpravo. Budou mít stejné přednost jako konvoluce, protože jsou ve skutečnosti spleti s posunutou diskrétní delta impuls.

${displaystyle delta = (tečky, 0,0, {podmnožina {0- {mbox {th pozice}}} {1}}, 0,0, tečky)}$

Transformace vlnky přeformulovaná na rozdělené filtry je:

${displaystyle {egin {aligned} a_ {1} & = h_ {mbox {e}} cdot a_ {0, {mbox {e}}} + h_ {mbox {o}} cdot a_ {0, {mbox {o} }} ightarrow 1 d_ {1} & = g_ {mbox {e}} cdot a_ {0, {mbox {e}}} + g_ {mbox {o}} cdot a_ {0, {mbox {o}}} ightarrow 1end {zarovnáno}}}$

To lze zapsat jako násobení matice-vektor

${displaystyle {egin {aligned} P & = {egin {pmatrix} h_ {mbox {e}} & h_ {mbox {o}} ightarrow 1 g_ {mbox {e}} & g_ {mbox {o}} ightarrow 1end {pmatrix} } {egin {pmatrix} a_ {1} d_ {1} konec {pmatrix}} & = Pcdot {egin {pmatrix} a_ {0, {mbox {e}}} a_ {0, {mbox {o} }} konec {pmatrix}} konec {zarovnaný}}}$

Tato matice ${displaystyle scriptstyle P}$ je polyfázová matice.

Polyfázová matice může mít samozřejmě libovolnou velikost, nemusí mít čtvercový tvar. To znamená, že princip je dobře škálovatelný pro všechny filtrační banky, více vln, vlnkové transformace založené na zlomcích upřesnění.

Vlastnosti

Reprezentace kódování dílčích pásem vícefázovou maticí je více než o zjednodušení zápisu. Umožňuje přizpůsobení mnoha výsledků z teorie matic a teorie modulů. Následující vlastnosti jsou vysvětleny pro a ${displaystyle scriptstyle 2, imes, 2}$ matice, ale rozšiřují se stejně do vyšších dimenzí.

Invertibilita / dokonalá rekonstrukce

Nazývá se případ, kdy vícefázová matice umožňuje rekonstrukci zpracovaného signálu z filtrovaných dat dokonalá rekonstrukce vlastnictví. Matematicky to odpovídá invertibilitě. Podle věty o invertibilita matice nad prstenem je polyfázová matice invertibilní právě tehdy, když určující polyfázové matice je a Kroneckerova delta, což je všude nula kromě jedné hodnoty.

${displaystyle {egin {aligned} det P & = h_ {mbox {e}} cdot g_ {mbox {o}} - h_ {mbox {o}} cdot g_ {mbox {e}} existuje A Acdot P & = existuje rozdíl c existuje k det P = ccdot delta ightarrow kend {zarovnáno}}}$

Podle Cramerovo pravidlo inverzní k ${displaystyle scriptstyle P}$ lze podat okamžitě.

${displaystyle P ^ {- 1} cdot det P = {egin {pmatrix} g_ {mbox {o}} ightarrow 1 & -h_ {mbox {o}} ightarrow 1 -g_ {mbox {e}} & h_ {mbox {e }} konec {pmatrix}}}$

Ortogonalita

Ortogonalita znamená, že adjointová matice ${displaystyle scriptstyle P ^ {*}}$ je také inverzní matice ${displaystyle scriptstyle P}$. Adjungovaná matice je transponovaná matice s adjoint filtry.

${displaystyle P ^ {*} = {egin {pmatrix} h_ {mbox {e}} ^ {*} & g_ {mbox {e}} ^ {*} h_ {mbox {o}} ^ {*} leftarrow 1 & g_ { mbox {o}} ^ {*} leftarrow 1end {pmatrix}}}$

Znamená to, že Euklidovská norma vstupní signál je zachován. To znamená, že podle vlnkové transformace je to izometrie.

${displaystyle left | a_ {1} ight | _ {2} ^ {2} + left | d_ {1} ight | _ {2} ^ {2} = left | a_ {0} ight | _ {2} ^ { 2}}$

Podmínka ortogonality

${displaystyle Pcdot P ^ {*} = I}$

lze vypsat

${displaystyle {egin {aligned} h_ {mbox {e}} ^ {*} cdot h_ {mbox {e}} + h_ {mbox {o}} ^ {*} cdot h_ {mbox {o}} & = delta g_ {mbox {e}} ^ {*} cdot g_ {mbox {e}} + g_ {mbox {o}} ^ {*} cdot g_ {mbox {o}} & = delta h_ {mbox {e}} ^ {*} cdot g_ {mbox {e}} + h_ {mbox {o}} ^ {*} cdot g_ {mbox {o}} & = 0end {zarovnáno}}}$

Norma operátora

U neortogonálních polyfázových matic vyvstává otázka, jaké euklidovské normy může výstup předpokládat. To lze omezit pomocí norma operátora.

${displaystyle forall x left | Pcdot xight | _ {2} vlevo [left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} cdot | x | _ {2}, | P | _ {2 } cdot | x | _ {2} ight]}$

Pro ${displaystyle scriptstyle 2, imes, 2}$ polyfázovou matici lze normu euklidovského operátoru explicitně zadat pomocí Frobeniova norma ${displaystyle scriptstyle | cdot | _ {F}}$ a z transformace ${displaystyle scriptstyle Z}$:^[2]

${displaystyle {egin {aligned} p (z) & = {frac {1} {2}} cdot left | ZP (z) ight | _ {F} ^ {2} q (z) & = left | det [ ZP (z)] ight | ^ {2} | P | _ {2} & = max vlevo {{sqrt {p (z) + {sqrt {p (z) ^ {2} -q (z)}} }}: zin mathbb {C} land | z | = 1ight} left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} & = min vlevo {{sqrt {p (z) - {sqrt {p (z) ^ {2} -q (z)}}}}: zin mathbb {C} země | z | = 1ight} konec {zarovnáno}}}$

Toto je zvláštní případ ${displaystyle n imes n}$ matice, kde lze operátorskou normu získat pomocí z transformace a spektrální poloměr matice nebo podle spektrální norma.

${displaystyle {egin {aligned} left | Pight | _ {2} & = {sqrt {max left {lambda _ {ext {max}} left [ZP ^ {*} (z) cdot ZP (z) ight]: zin mathbb {C} land | z | = 1ight}}} & = max left {left | ZP (z) ight | _ {2}: zin mathbb {C} land | z | = 1ight} [3pt] left | P ^ {- 1} ight | _ {2} ^ {- 1} & = {sqrt {min left {lambda _ {ext {min}} left [ZP ^ {*} (z) cdot ZP (z) ight] : zin mathbb {C} přistát | z | = 1ight}}} konec {zarovnáno}}}$

Signál, kde se tyto hranice předpokládají, lze odvodit z vlastního vektoru odpovídající maximalizaci a minimalizaci vlastního čísla.

Zvedací schéma

Koncept vícefázové matice umožňuje maticový rozklad. Například rozklad na přídavné matice vede k zvedací schéma.^[3] Klasické maticové rozklady však jako LU a QR rozklad nelze použít okamžitě, protože filtry tvoří a prsten s ohledem na konvoluci, ne a pole.

Reference