Polynomiální funktor (teorie typů) - Polynomial functor (type theory)
v teorie typů, a polynomiální funktor (nebo kontejnerový funktor) je druh endofunctor a kategorie typů, které úzce souvisí s konceptem induktivní a koinduktivní typy. Konkrétně všechny W-typy (resp. typy M) jsou (izomorfní) počáteční algebry (resp. závěrečné uhlí ) takových funktorů.
Polynomiální funktory byly studovány v obecnějším nastavení a pretopos s typy Σ,[1] tento článek se zabývá pouze aplikacemi tohoto konceptu uvnitř kategorie typů a Teorie typů stylu Martin-Löf.
Definice
Nechat U být vesmír typů, nechť A : Ua nechte B : A → U být rodinou typů indexovaných pomocí A. Dvojice (A, B) se někdy nazývá a podpis[2] nebo a kontejner.[3] The polynomiální funktor přidružené ke kontejneru (A, B) je definován takto:[4][5][6]
Jakýkoli funktor je přirozeně izomorfní P se nazývá a kontejnerový funktor.[7] Akce P na funkce je definována
Všimněte si, že toto přiřazení není jen skutečně funkcionálním v teoriích typu rozšíření (viz # Vlastnosti ).
Vlastnosti
V teoriích intenzionálního typu nejsou takové funkce skutečně funktory, protože vesmírný typ není striktně kategorií (pole teorie homotopy se věnuje zkoumání toho, jak se typ vesmíru chová spíše jako a vyšší kategorie ). Je však funkcionální až do výrokových rovností, to znamená, že jsou osídleny následující typy identity:
pro jakékoli funkce F a G a jakýkoli typ X, kde je funkce identity na typu X.[8]
Vložené citace
- ^ Moerdijk, Ieke; Palmgren, Erik (2000). Msgstr "Dobře založené stromy v kategoriích". Annals of Pure and Applied Logic. 104 (1–3): 189–218. doi:10.1016 / s0168-0072 (00) 00012-9. hdl:2066/129036.
- ^ Ahrens, Definice 1.
- ^ Opat, str. 4.
- ^ Program Univalent Foundations 2013, Rovnice 5.4.6.
- ^ Ahrens, Definice 2.
- ^ Awodey 2012, str. 8.
- ^ Opat, str. 10.
- ^ Awodey 2015.
Reference
- Program Univalent Foundations (2013). Teorie typu homotopy: Univalentní základy matematiky. Institut pro pokročilé studium. p. 159.
- Awodey, Steve; Gambino, Nicola; Sojakova, Kristina (18.01.2012). "Induktivní typy v teorii homotopických typů". arXiv:1201.3898 [matematika.LO ].
- Awodey, Steve; Gambino, Nicola; Sojakova, Kristina (2015-04-21). "Homotopy-počáteční algebry v teorii typů". arXiv:1504.05531 [matematika.LO ].
- Ahrens, Benedikt; Capriotti, Paolo; Spadotti, Régis (12.04.2015). "Nepodložené stromy v teorii typu Homotopy". arXiv:1504.02949. doi:10.4230 / LIPIcs.TLCA.2015.17. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Abbott, Michael; Altenkirch, Thorsten; Ghani, Neil (2005). "Kontejnery: Konstrukce přísně pozitivních typů". Teoretická informatika. 342 (1): 4. doi:10.1016 / j.tcs.2005.06.002.
externí odkazy
- Rozsáhlá sbírka Poznámky k polynomiálním funktorům