Poincaré – Lindstedtova metoda - Poincaré–Lindstedt method

v teorie poruch, Poincaré – Lindstedtova metoda nebo Lindstedt – Poincaréova metoda je technika pro jednotné přibližování periodicky řešení obyčejné diferenciální rovnice, když selžou pravidelné poruchy. Metoda odstraní sekulární pojmy —Bezprostorově rostoucí termíny - vznikající v přímém uplatnění teorie poruch slabě nelineární problémy s konečnými oscilačními řešeními.^[1]

Metoda je pojmenována po Henri Poincaré,^[2] a Anders Lindstedt.^[3]

Příklad: Duffingova rovnice

Netlumený, nevynucený Tlumící rovnice je dána

${displaystyle {ddot {x}} + x + varepsilon, x ^ {3} = 0,}$

pro t > 0, s 0 <ε ≪ 1.^[4]

Zvažte počáteční podmínky

${displaystyle x (0) = 1 ,,}$   ${displaystyle {dot {x}} (0) = 0.,}$

A perturbation-series řešení formuláře X(t) = X₀(t) + ε X₁(t) +… Je hledáno. První dva termíny série jsou

${displaystyle x (t) = cos (t) + varepsilon vlevo [{frac {1} {32}}, vlevo (cos (3t) -cos (t) ight) - {frac {3} {8}}, t , sin (t) ight] + cdots.,}$

Tato aproximace roste bez časového omezení, což je v rozporu s fyzickým systémem, který rovnice modely.^[5] Termín odpovědný za tento neomezený růst, nazývaný sekulární termín, je ${displaystyle tsin (t)}$. Metoda Poincaré – Lindstedt umožňuje vytvoření aproximace, která je přesná po celou dobu, a to následovně.

Kromě vyjádření samotného řešení jako asymptotická série, tvoří další sérii, pomocí které lze měřit čas t:

${displaystyle au = omega t ,,}$   kde   ${displaystyle omega = omega _ {0} + varepsilon omega _ {1} + cdots.,}$

Pro větší pohodlí si vezměte ω₀ = 1 protože vedoucí pořadí řešení úhlová frekvence je 1. Pak se stane původní problém

${displaystyle omega ^ {2}, x '' (au) + x (au) + varepsilon, x ^ {3} (au) = 0,}$

se stejnými počátečními podmínkami. Nyní hledejte řešení formuláře X(τ) = X₀(τ) + ε X₁(τ) +…. Následující řešení problému nula a prvního řádu v ε jsou získány:

${displaystyle {egin {aligned} x_ {0} & = cos (au) {ext {and}} x_ {1} & = {frac {1} {32}}, left (cos (3 au) -cos ( au) ight) + vlevo (omega _ {1} - {frac {3} {8}} ight), au, sin (au) .end {zarovnáno}}}$

Sekulární výraz lze tedy odstranit volbou: ω₁ = ​³⁄₈. Vyšším řádům přesnosti lze dosáhnout pokračováním v poruchové analýze tímto způsobem. Od této chvíle je aproximace - opravena až do prvního řádu ε-je

${displaystyle x (t) cca cos {Bigl (} vlevo (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon ight), t {Bigr)} + ​​{frac {1} {32}}, varepsilon, vlevo [ cos {Bigl (} 3left (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon, ight), t {Bigr)} - cos {Bigl (} left (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon , ight), t {Bigr)} ight].,}$

Odkazy a poznámky