Penrosova druhá odmocnina zákon - Penrose square root law

V matematice teorie her, Penrosova druhá odmocnina zákon, původně formuloval Lionel Penrose, se týká rozdělení hlasovací síly v hlasovacím orgánu skládajícím se z N členů.^[1][2][3] Uvádí se v něm, že a priori hlasovací síla jakéhokoli voliče, měřená Penrosův – Banzhafův index ${ displaystyle psi}$ váhy jako ${ displaystyle 1 / { sqrt {N}}}$.

Tento výsledek byl použit k návrhu Penrosova metoda pro přidělení hlasovacích vah zástupců v rozhodovacích orgánech úměrně k druhé odmocnině zastoupené populace.

Krátká derivace

Pro odhad indexu hlasování jakéhokoli hráče je třeba odhadnout počet možných vítězných koalic, ve kterých je jeho hlas rozhodující. Předpokládejme pro jednoduchost, že počet voličů je lichý, N = 2j +1 a orgán hlasuje podle pravidla standardní většiny. V návaznosti na Penrose se dospělo k závěru, že daný volič bude schopen efektivně ovlivnit výsledek hlasování, pouze pokud se hlasy rozdělí na polovinu: j hráči řeknou „ano“ a zbývající j hráči hlasují „ne“, rozhodující je poslední hlas.

Za předpokladu, že všichni členové orgánu hlasují nezávisle (hlasy nesouvisí) a že pravděpodobnost každého hlasování „ano“ se rovná p = 1/2 lze odhadnout pravděpodobnost takové události pomocí Bernoulliho soud. Pravděpodobnost získání j hlasuje „ano“ ze 2j přečte hlasy

${ displaystyle P_ {j} = left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2j} { frac { left (2j right)!} { left (j! right) ^ {2}}}.}$

Pro velké N můžeme použít Stirlingova aproximace pro faktoriál j ! a získat pravděpodobnost ${ displaystyle psi}$ že hlas daného voliče je rozhodující

${ displaystyle psi = P_ {j} sim 2 ^ {- 2j} { frac {(2j / e) ^ {2j} { sqrt {4 pi j}}} {[(j / e) ^ {j} { sqrt {2 pi j}}] ^ {2}}} = { frac {1} { sqrt { pi j}}} sim { sqrt { frac {2} { pi}}} { frac {1} { sqrt {N}}}.}$

Stejná aproximace se získá u sudého čísla N.

Kirsch představil matematické zkoumání vlivu možných korelací mezi voliči zákona Penroseovy odmocniny.^[3]

Penrosův zákon se používá k vytvoření Penroseho systémů dvoustupňového hlasování, včetně Jagelovský kompromis určen pro Rada Evropské unie.

Viz také

• Jagelovský kompromis
• Penroseovo náměstí

Reference