Banzhafův index síly - Banzhaf power index

Pro další použití viz Index výkonu.
Počítačový model indexu moci Banzhaf z Demonstrační projekt Wolfram

The Banzhafův index síly, pojmenoval podle John F. Banzhaf III (původně vynalezl Lionel Penrose v roce 1946 a někdy volal Penrosův – Banzhafův index; také známý jako Banzhaf – Colemanův index po James Samuel Coleman ), je Napájení index definovaný indexem pravděpodobnost změny výsledek a hlasování kde hlasovací práva nejsou nutně rovnoměrně rozdělena mezi voliče nebo akcionáři.

Chcete-li vypočítat sílu voliče pomocí Banzhafova indexu, uveďte seznam všech vítězných koalic a poté spočítejte kritické voliče. A kritický volič je volič, který, pokud by změnil svůj hlas z ano na ne, způsobil by selhání opatření. Síla voliče se měří jako zlomek všech houpacích hlasů, které mohl odevzdat. Existují některé algoritmy pro výpočet indexu výkonu, např. dynamické programování techniky, metody výčtu a Metody Monte Carlo.[1]

Příklady

Hlasovací hra

Jednoduchá hlasovací hra

Jednoduchá hlasovací hra, převzata z Teorie a strategie her autor: Philip D. Straffin:[2]

[6; 4, 3, 2, 1]

Čísla v závorkách znamenají, že opatření vyžaduje 6 hlasů a volič A může odevzdat čtyři hlasy, B tři hlasy, C dva a D jeden. Vítězné skupiny s podtrženými voliči houpačky jsou následující:

AB, AC, APŘED NAŠÍM LETOPOČTEM, ABD, ACD, BCD, ABECEDA

Existuje celkem 12 swingových hlasů, takže podle indexu Banzhaf Napájení se dělí takto:

A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12

Americká volební vysoká škola

Zvažte Volební vysoká škola Spojených států. Každý stát má více či méně energie než další stát. Existuje celkem 538 volební hlasy. A většina hlasů se považuje za 270 hlasů. Banzhafův index síly by byl matematickým vyjádřením toho, jak pravděpodobný bude jediný stát, který bude schopen houpat hlasováním. Stát jako Kalifornie, kterému je přiděleno 55 volebních hlasů, by s větší pravděpodobností změnilo hlas než stát jako Montana, který má 3 volební hlasy.

Předpokládejme, že USA mají prezidentské volby mezi a Republikán (R) a a Demokrat (D). Pro zjednodušení předpokládejme, že se účastní pouze tři státy: Kalifornie (55 volebních hlasů), Texas (38 volebních hlasů) a New York (29 volebních hlasů).

Možné výsledky voleb jsou:

Kalifornie (55)Texas (38)New York (29)R hlasůD hlasůStáty, které by mohly hlasovat
RRR1220žádný
RRD9329Kalifornie (D by vyhrál 84–38), Texas (D by vyhrál 67–55)
RDR8438Kalifornie (D by vyhrál 93–29), New York (D by vyhrál 67–55)
RDD5567Texas (R by vyhrál 93–29), New York (R by vyhrál 84–38)
DRR6755Texas (D by vyhrál 93–29), New York (D by vyhrál 84–38)
DRD3884Kalifornie (R vyhraje 93–29), New York (R vyhraje 67–55)
DDR2993Kalifornie (R vyhraje 84–38), Texas (R vyhraje 67–55)
DDD0122žádný

Banzhafův výkonový index státu je podíl možných výsledků, ve kterých by tento stát mohl změnit volby. V tomto příkladu mají všechny tři stavy stejný index: 4/12 nebo 1/3.

Pokud však New York nahradí Gruzie, kde je pouze 16 volebních hlasů, situace se dramaticky změní.

Kalifornie (55)Texas (38)Gruzie (16)R hlasůD hlasůStáty, které by mohly hlasovat
RRR1090Kalifornie (R by vyhrál 109-0)
RRD9316Kalifornie (R vyhraje 93-16)
RDR7138Kalifornie (R vyhraje 71-38)
RDD5554Kalifornie (R vyhraje 55-54)
DRR5455Kalifornie (D by vyhrál 55-54)
DRD3871Kalifornie (D by vyhrál 71-38)
DDR1693Kalifornie (D by vyhrál 93-16)
DDD0109Kalifornie (D by vyhrál 109-0)

V tomto příkladu dává Banzhafův index Kalifornii 1 a ostatním státům 0, protože pouze Kalifornie má více než polovinu hlasů.

Kartelová hra

Pět společností (A, B, C, D, E) podepisuje dohodu o vytvoření a monopol. Velikost trhu je X = 54 milionů jednotek ročně (např. Ropné sudy) pro monopol. Maximální výrobní kapacita těchto společností je A = 44, B = 32, C = 20, D = 8 a E = 4 miliony jednotek ročně. Proto existuje skupina koalic schopných poskytnout 54 milionů jednotek nezbytných pro monopol a skupina koalic schopných poskytnout tento počet. V každé z dostatečných koalic může mít jeden nezbytný počet členů (aby koalice zajistila požadovanou produkci) a zbytečných členů (podtrženo v tabulce níže). I když jeden těchto nepotřebných členů vyjde z dostatečné koalice, aby byla koalice schopna zajistit požadovanou produkci. Kdy však jeden nezbytné odchody členů, dostatečná koalice se stane nedostatečnou. Zisk monopolu, který má být rozdělen mezi členy koalice, je 100 milionů dolarů ročně.

Dostatečné koaliceABCDE, abeceda, ABCE, ABDE, ACDE, Apřed naším letopočtem, ABD, ABE, ACD, ACE, PŘED NAŠÍM LETOPOČTEMDE, BCD, BCE, ADE, AB a AC
Nedostatečné koaliceCDE, BDE, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, A, B, C, D a E

Pro výpočet indexu lze použít index Penrose – Banzhaf Shapleyova hodnota, který poskytuje základ pro rozdělení zisku pro každého hráče ve hře v poměru k počtu dostatečných koalic, ve kterých je tento hráč nezbytný. Hráč A je nezbytný pro 10 ze 16 dostatečných koalic, B je nezbytný pro 6, C také pro 6, D pro 2 a E pro 2. Proto je A nutné v 38,5% z celkového počtu případů (26 = 10 + 6 + 6 + 2 + 2, tedy 10/26 = 0,385), B 23,1%, C 23,1%, D 7,7% a E 7,7% (to jsou Banzhafovy indexy pro každou společnost). Rozdělení 100 milionů monopolních zisků podle kritéria Shapleyovy hodnoty musí tyto rozměry dodržovat.

Dějiny

To, co je dnes známé jako Banzhafův výkonový index, původně zavedlo Lionel Penrose v roce 1946[3] a šlo z velké části zapomenuto.[4] Objevil to znovu John F. Banzhaf III v roce 1965,[5] ale muselo to být znovu objeveno James Samuel Coleman v roce 1971[6] než se stala součástí tradiční literatury.

Banzhaf chtěl objektivně dokázat, že Okres Nassau hlasovací systém představenstva byl nespravedlivý. Jak je uvedeno v Teorie a strategie her, hlasy byly přiděleny takto:[2]

  • Hempstead # 1: 9
  • Hempstead # 2: 9
  • North Hempstead: 7
  • Oyster Bay: 3
  • Glen Cove: 1
  • Long Beach: 1

To je celkem 30 hlasů a k přijetí opatření byla zapotřebí prostá většina 16 hlasů.[A]

V Banzhafově zápisu jsou [Hempstead # 1, Hempstead # 2, North Hempstead, Oyster Bay, Glen Cove, Long Beach] A-F v [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]

K dispozici je 32 vítězných koalic a 48 výkyvných hlasů:

AB AC před naším letopočtem ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF před naším letopočtemD před naším letopočtemE před naším letopočtemF ABCD ABCE ABCF ABDE ABDF ABEF ACDE ACDF ACEF před naším letopočtemDE před naším letopočtemDF před naším letopočtemEF ABCDE ABCDF ABCEF ABDEF ACDEF před naším letopočtemDEF ABCDEF

Banzhafův index dává tyto hodnoty:

  • Hempstead # 1 = 16/48
  • Hempstead # 2 = 16/48
  • North Hempstead = 16/48
  • Oyster Bay = 0/48
  • Glen Cove = 0/48
  • Long Beach = 0/48

Banzhaf tvrdil, že hlasovací ujednání, které dává 0% moci 16% populace, je nespravedlivé.[b]

Dnes,[když? ] index Banzhafovy síly je akceptovaným způsobem měření hlasovací síly spolu s alternativou Shapley – Shubikův index síly. Obě opatření byla použita při analýze hlasování v EU Rada Evropské unie.[7]

Banzhafova analýza však byla kritizována za to, že s hlasy zachází jako s házením mincí, a empirický model hlasování, spíše než náhodný model hlasování, který používá Banzhaf, přináší jiné výsledky.[8]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Banzhaf nechápal, jak hlasování v okrese Nassau skutečně fungovalo. Zpočátku bylo Hempsteadu rozděleno 24 hlasů, což mělo za následek celkem 36 hlasů. Hempstead byl poté omezen na polovinu z celkového počtu, nebo 18 nebo 9 pro každého nadřízeného. Šest vyloučených hlasů nebylo hlasováno a většina potřebná k přijetí opatření zůstala na 19.
  2. ^ Mnoho zdrojů tvrdí, že Banzhaf žaloval (a vyhrál). V původním sporu o okres Nassau Franklin v. Mandeville 57 Misc. 2d 1072 (1968), newyorský soud rozhodl, že voličům v Hempsteadu byla odepřena stejná ochrana, protože všichni měli většinu obyvatel, ale neměli většinu váženého hlasu. Vážené hlasování bude v Nassau County vedeno dalších 25 let, dokud nebude vyřazeno.

Reference

Poznámky pod čarou

  1. ^ Matsui a Matsui 2000.
  2. ^ A b Straffin 1993.
  3. ^ Penrose 1946.
  4. ^ Felsenthal & Machover 1998, str. 5.
  5. ^ Banzhaf 1965.
  6. ^ Coleman 1971.
  7. ^ Varela & Prado-Dominguez 2012.
  8. ^ Gelman & Katz 2002.

Bibliografie

Banzhaf, John F. (1965). „Vážené hlasování nefunguje: Matematická analýza“. Rutgers Law Review. 19 (2): 317–343. ISSN  0036-0465.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Coleman, James S. (1971). "Kontrola nad kolektivy a síla kolektivu jednat". V Lieberman, Bernhardt (ed.). Sociální volba. New York: Gordon a Breach. str. 192–225.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Felsenthal, Dan S .; Machover, Moshé (1998). Měření teorie a praxe hlasovací síly, problémy a paradoxy. Cheltenham, Anglie: Edward Elgar.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
 ———  ​ (2004). „Priori hlasovací síla: O co jde?“ (PDF). Recenze politických studií. 2 (1): 1–23. doi:10.1111 / j.1478-9299.2004.00001.x. ISSN  1478-9302.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Gelman, Andrew; Katz, Jonathan; Tuerlinckx, Francis (2002). „Matematika a statistika volební síly“. Statistická věda. 17 (4): 420–435. doi:10.1214 / ss / 1049993201. ISSN  0883-4237.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Lehrer, Ehud (1988). „Axiomatizace hodnoty Banzhaf“ (PDF). International Journal of Game Theory. 17 (2): 89–99. CiteSeerX  10.1.1.362.9991. doi:10.1007 / BF01254541. ISSN  0020-7276. Citováno 30. srpna 2017.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Matsui, Tomomi; Matsui, Yasuko (2000). „Průzkum algoritmů pro výpočet výkonových indexů her vážené většiny“ (PDF). Journal of the Operations Research Society of Japan. 43 (1): 71–86. doi:10.15807 / jorsj.43.71. ISSN  0453-4514. Citováno 30. srpna 2017.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Penrose, Lionel (1946). "Základní statistika většinového hlasování". Journal of the Royal Statistical Society. 109 (1): 53–57. doi:10.2307/2981392. ISSN  0964-1998. JSTOR  2981392.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Straffin, Philip D. (1993). Teorie a strategie her. Nová matematická knihovna. 36. Washington: Mathematical Association of America.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Varela, Diego; Prado-Dominguez, Javier (2012). „Jednání o Lisabonské smlouvě: indexy přerozdělování, účinnosti a síly“. Český ekonomický přehled. 6 (2): 107–124. ISSN  1802-4696. Citováno 30. srpna 2017.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy