Věta o jádru Peano - Peano kernel theorem

v numerická analýza, Věta o jádru Peano je obecný výsledek na mezích chyb pro širokou třídu numerických aproximací (např numerické kvadratury ), definované ve smyslu lineární funkcionály. Je to přičítáno Giuseppe Peano.^[1]

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle { mathcal {V}} [a, b]}$ být prostorem všech diferencovatelné funkce ${ displaystyle f}$ definováno pro ${ displaystyle x in (a, b)}$ které jsou z ohraničená variace na ${ displaystyle [a, b]}$ a nechte ${ displaystyle L}$ být lineární funkční na ${ displaystyle { mathcal {V}} [a, b]}$ . Předpokládat, že ${ displaystyle f}$ je ${ textstyle nu +1}$ krát průběžně diferencovatelné a to ${ displaystyle L}$ ničí všechny polynomy stupně ${ displaystyle leq nu}$ , tj.

{ displaystyle Lp = 0, qquad forall p in mathbb {P} _ { nu} [x].}

Předpokládejte dále, že pro všechny bivariate funkce

{ displaystyle g (x, theta)}

s

{ displaystyle g (x, cdot), , g ( cdot, theta) v C ^ { nu +1} [a, b]}

, platí následující:

{ displaystyle L int _ {a} ^ {b} g (x, theta) , d theta = int _ {a} ^ {b} Lg (x, theta) , d theta, }

a definovat Peano jádro z

{ displaystyle L}

tak jako

{ displaystyle k ( theta) = L [(x- theta) _ {+} ^ { nu}], qquad theta v [a, b],}

zavedení notace

{ displaystyle (x- theta) _ {+} ^ { nu} = { begin {cases} (x- theta) ^ { nu}, & x geq theta, 0, & x leq theta. end {cases}}}

The Věta o jádru Peano pak to uvádí

{ displaystyle Lf = { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {b} k ( theta) f ^ {( nu +1)} ( theta) , d theta,}

pokud

{ displaystyle k in { mathcal {V}} [a, b]}

.^[1]^[2]

Meze

Několik mezí na hodnotě ${ displaystyle Lf}$ vyplývá z tohoto výsledku:

{ displaystyle { begin {zarovnané} | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ {1} | f ^ {( nu +1)} | _ { infty} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | k | _ { infty} | f ^ {( nu +1)} | _ {1} [5pt] | Lf | & leq { frac {1} { nu!}} | K | _ {2} | f ^ {( nu +1)} | _ {2} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle | cdot | _ {1}}$ , ${ displaystyle | cdot | _ {2}}$ a ${ displaystyle | cdot | _ { infty}}$ jsou taxík, Euklidovský a maximum normy resp.^[2]

aplikace

V praxi je hlavní aplikací věty o jádru Peano svázat chybu aproximace, která je přesná pro všechny ${ displaystyle f in mathbb {P} _ { nu}}$ . Věta výše vyplývá z Taylorův polynom pro ${ displaystyle f}$ s integrálním zbytkem:

{ displaystyle { begin {aligned} f (x) = f (a) + {} & (xa) f '(a) + { frac {(xa) ^ {2}} {2}} f' ' (a) + cdots [6pt] & cdots + { frac {(xa) ^ { nu}} { nu!}} f ^ { nu} (a) + { frac {1} { nu!}} int _ {a} ^ {x} (xa) ^ { nu} f ^ {( nu +1)} ( theta) , d theta, end {zarovnáno}} }

definování ${ displaystyle L (f)}$ jako chyba aproximace pomocí linearita z ${ displaystyle L}$ spolu s přesností pro ${ displaystyle f in mathbb {P} _ { nu}}$ zničit všechny kromě posledního termínu na pravé straně a pomocí ${ displaystyle ( cdot) _ {+}}$ zápis k odstranění ${ displaystyle x}$ -závislost na integrálních mezích.^[3]

Viz také

Rozdělené rozdíly

Reference

^ ^A ^b Ridgway Scott, L. (2011). Numerická analýza. Princeton, N.J .: Princeton University Press. str.209. ISBN 9780691146867. OCLC 679940621.
^ ^A ^b Iserles, Arieh (2009). První kurz numerické analýzy diferenciálních rovnic (2. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. str.443 –444. ISBN 9780521734905. OCLC 277275036.
^ Iserles, Arieh (1997). "Numerická analýza" (PDF). Citováno 2018-08-09.

[Ridgway_Scott_2011-1] A ^b Ridgway Scott, L. (2011). Numerická analýza. Princeton, N.J .: Princeton University Press. str.209. ISBN 9780691146867. OCLC 679940621.

[Iserles_2009-2] A ^b Iserles, Arieh (2009). První kurz numerické analýzy diferenciálních rovnic (2. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. str.443 –444. ISBN 9780521734905. OCLC 277275036.

[3] Iserles, Arieh (1997). "Numerická analýza" (PDF). Citováno 2018-08-09.

[1]

[2]

[3]