Ovoid (projektivní geometrie) - Ovoid (projective geometry)

V projektivní geometrii a vejcovitý je koule jako bodová sada (povrch) v projektivním prostoru dimenze d ≥ 3. Jednoduchými příklady ve skutečném projektivním prostoru jsou hypersféry (kvadrics ). Základní geometrické vlastnosti vejcovodu jsou:
- Jakákoli čára se protíná maximálně 2 body,
- Tečny v bodě pokrývají nadrovinu (a nic víc) a
- neobsahuje žádné řádky.
Vlastnost 2) vylučuje zdegenerované případy (kužely, ...). Vlastnost 3) vylučuje vyloučené plochy (hyperboloidy jednoho listu, ...).
Ovoid je prostorový analog z ovál v projektivní rovině.
Ovoid je speciální typ a kvadratická množina.
Ovoids hrají zásadní roli při vytváření příkladů Möbiova letadla a vícerozměrné Möbiovy geometrie.
Definice ovoid
- V projektivním prostoru dimenze d ≥ 3 sada bodů se nazývá vejcovitý, pokud
- (1) Libovolný řádek G splňuje maximálně 2 body.
V případě , linka se nazývá a projíždějící (nebo vnější) čára, pokud linka je a tečna, a pokud linka je a sekanční čára.
- (2) V každém okamžiku tečné čáry skrz P pokrýt nadrovinu, tečná nadrovina, (tj. projektivní podprostor dimenze d − 1).
- (3) neobsahuje žádné řádky.
Z hlediska sekcí nadroviny je vejcovitý poměrně homogenní objekt, protože
- Pro vejcovodu a hyperplán , který obsahuje alespoň dva body podmnožina je vejčitý (nebo oválný, pokud d = 3) v nadrovině .
Pro konečný projektivní prostory dimenze d ≥ 3 (tj. množina bodů je konečná, prostor je pappický[1]), je pravdivý následující výsledek:
- Li je vejčitý v a konečný projektivní prostor dimenze d ≥ 3, pak d = 3.
- (V konečném případě existují ovoidy pouze v trojrozměrných prostorech.)[2]
- V omezeném projektivním prostoru řádu n >2 (tj. jakýkoli řádek obsahuje přesně n + 1 body) a rozměr d = 3 libovolná sada bodů je vejčitý právě tehdy a žádné tři body nejsou kolineární (na společné lince).[3]
Nahrazení slova projektivní v definici vejcovodu od afinní, dává definici afinní vejčitý.
Pokud je pro (projektivní) vejcovodu vhodná nadrovina aniž by se to protínalo, lze tuto nadrovinu nazvat nadrovina v nekonečnu a vejcovod se stává afinním vejcovodem v příslušném afinním prostoru . Jakýkoli afinní vejcovod lze také považovat za projektivní vejcovod v projektivním uzávěru (přidáním nadroviny v nekonečnu) afinního prostoru.
Příklady
V reálném projektivním prostoru (nehomogenní reprezentace)
- (hypersféra)
Tyto dva příklady jsou kvadrics a jsou projektivně ekvivalentní.
Jednoduché příklady, které nejsou kvadriky, lze získat následujícími konstrukcemi:
- (a) Přilepte jednu polovinu hypersféry na vhodný hyperellipsoid v a hladký způsob.
- (b) V prvních dvou příkladech nahraďte výraz X12 podle X14.
Poznámka: Skutečné příklady nelze převést na komplexní případ (projektivní prostor přes ). Ve složitém projektivním prostoru dimenze d ≥ 3 neexistují žádné vejčité kvadriky, protože v takovém případě obsahuje jakýkoli nedegenerovaný kvadrik řádky.
Následující metoda však zaručuje mnoho nekvadrických vajec:
- Pro všechny neomezený projektivní prostor lze existence vajec prokázat pomocí transfinitní indukce.[4][5]
Konečné příklady
- Jakékoli vejčité v konečný projektivní prostor dimenze d = 3 přes pole K. z charakteristický ≠ 2 je kvadrický.[6]
Poslední výsledek nelze rozšířit ani na charakteristiku, a to z následujících příkladů, které nejsou kvadrické:
- Pro liché a automorfismus
sada bodů
- je vejcovitý v trojrozměrném projektivním prostoru K. (vyjádřeno v nehomogenních souřadnicích).
- Pouze když m = 1 je vejčitý kvadrik.[7]
- se nazývá Prsa-Suzuki-vejčité.
Kritéria pro vejcovodu být kvadrický
Vajcovitý kvadrik má mnoho symetrií. Zejména:
- Nech být vejčitý v projektivním prostoru dimenze d ≥ 3 a nadrovina. Pokud je vejcovitý symetrický s jakýmkoli bodem (tj. existuje involutorní perspektiva se středem který odchází invariantní) je pappský a kvadrik.[8]
- Vejčitý v projektivním prostoru je quadric, je-li skupina projektivit, která opouští invariant pracuje 3-tranzitivně na , tj. pro dvě trojice existuje projektivita s .[9]
V konečném případě se dostane od Segreova věta:
- Nech být vejčitý v a konečný 3-dimenzionální desarguesiánský projektivní prostor z zvláštní tedy objednat je pappský a je quadric.
Zevšeobecnění: polo vejcovité
Odstranění podmínky (1) z definice vejcovodu má za následek definici a polo-vejčité:
- Bodová sada projektivního prostoru se nazývá a polo-vejčité -li
platí následující podmínky:
- (SO1) Pro jakýkoli bod tečny skrz bod přesně zakrýt hyperplán.
- (SO2) neobsahuje žádné řádky.
Semi vajcovitý je zvláštní polokvadratická množina[10] což je zobecnění a kvadratická množina. Podstatným rozdílem mezi polokvadratickou množinou a kvadratickou množinou je skutečnost, že mohou existovat řádky, které mají se sadou společné 3 body a řádky nejsou v sadě obsaženy.
Příkladem semi-ovoidů jsou množiny izotropních bodů an poustevnická forma. Se nazývají poustevnický kvadrics.
Pokud jde o vajcovité ovoce v literatuře, existují kritéria, která činí polovajcovitý až poustevnický kvadrik. Viz například[11].
Semi-ovoidy se používají při konstrukci příkladů Möbiových geometrií.
Viz také
Poznámky
- ^ Dembowski 1968, str. 28
- ^ Dembowski 1968, str. 48
- ^ Dembowski 1968, str. 48
- ^ W. Heise: Bericht über -afinový Geometrien, Journ. of Geometry 1 (1971), S. 197–224, Satz 3.4.
- ^ F. Buekenhout: Charakterizace polokvadrik, Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421, kapitola 3.5
- ^ Dembowski 1968, str. 49
- ^ Dembowski 1968, str. 52
- ^ H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene, Abh. Matematika. Sem. Hamburg 45 (1976), S.237-244
- ^ J. Tits: Ovoides à Překlady, Rend. Rohož. 21 (1962), S. 37–59.
- ^ F. Buekenhout: Charakterizace polokvadrik, Atti dei Convegni Lincei 17 (1976), S. 393-421.
- ^ K.J. Dienst: Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegelungen, Beiträge zur geometrischen Algebra (1977), Birkhäuser-Verlag, S. 83-85.
Reference
- Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, PAN 0233275
Další čtení
- Barlotti, A. (1955), „Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo“, Boll. Un. Rohož. Ital., 10: 96–98
- Hirschfeld, J.W.P. (1985), Konečné projektivní prostory tří dimenzí, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8
- Panella, G. (1955), „Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito“, Boll. Un. Rohož. Ital., 10: 507–513
externí odkazy
- E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 121-123.